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| 內容簡介： |
非线性发展方程是描述自然界和社会现象中复杂系统演化规律的数学模型，其起源可追溯到17世纪，这些方程在多个领域有广泛应用，能揭示复杂系统演化规律、预测模拟复杂现象，对科学研究和实际应用具有重要意义本书着重介绍几类拟线性抛物方程(组)和具强阻尼项与对数源项的双曲方程解的整体存在、衰退、爆破及熄灭的相关理论和结果，研究拟线性抛物方程解的整体存在、爆破及熄灭，有助于揭示非线性动力系统的稳定性和演化规律，探究强阻尼与对数源作用下双曲方程解的整体存在性、衰减与爆破对于深入理解复杂物理系统动态行为、预测极端事件、优化工程设计具有重大理论与实践价值
本书可供高等院校数学专业及理工科相关专业的本科生、研究生、教师以及有关科研工作者参考。
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| 目錄：
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目录
第 1 章 具齐次 Dirichlet 边界条件的拟线性方程组解的整体存在与爆破
1.1 问题介绍
1.2 带吸收项的强耦合方程组解的整体存在与爆破
1.3 具局部化源的弱耦合方程组解的整体存在与爆破
第 2 章 具非局部边界条件的拟线性方程（组）解的整体存在与爆破
2.1 问题介绍
2.2 具局部化源和非局部边界条件的多孔介质方程解的整体存在与爆破
2.3 具非线性源和非局部边界条件的拟线性方程组解的整体存在与爆破
2.4 具非局部源和非局部边界条件的非散度型方程解的整体存在与爆破
2.5 注记
第 3 章 具非局部源的拟线性方程解的熄灭
3.1 问题介绍
3.2 具非局部源的多孔介质方程解的熄灭
3.3 具非局部源的双重退化方程解的熄灭
3.4 具非局部源和吸收项的 p-Laplace 方程解的熄灭
第 4 章 具强阻尼项和非线性对数源项的双曲方程解的衰退与爆破
4.1 问题介绍
4.2 具强阻尼项和非线性对数源项的四阶双曲方程解的衰退与爆破
4.3 具强阻尼项和非线性对数源项的 p-Laplace 双曲方程解的衰退与爆破
参考文献
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| 內容試閱：
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前言
在现代数学的广阔领域中，非线性发展方程的研究占据着举足轻重的地位。本书旨在研究几类非线性发展方程解的定性性质，包括解的整体存在性、衰退趋势、爆破现象以及熄灭行为。这些性质如同星辰般点缀在非线性天空中，引导我们洞察自然现象背后的数学规律。通过对这些特性的系统分析，我们不仅能够揭示方程中各项之间的内在反应机制，还能够为物理、工程及生物学等领域中的实际问题提供坚实的数学基础和理论指导。本书围绕几类拟线性抛物方程 (组) 和具强阻尼项与对数源项的双曲方程展开研究，主要讨论以下几类非线性发展方程:(1) 强耦合拟线性反应扩散方程组
\\(\\begin{cases} u_t = v^r \\Delta u + u(a_1 - b_1 u^l + c_1 v^t) \\\\ v_t = u^s \\Delta v + v(a_2 + b_2 u^m - c_2 v^n) \\end{cases}\\)
(2) 具局部化源的弱耦合拟线性方程组
\\(\\begin{cases} u_t = f(u)(\\Delta u + a u(x_0，t)) \\\\ v_t = g(v)(\\Delta v + b u(x_0，t)) \\end{cases}\\)
(3) 具非局部边界条件的拟线性方程 (组)
\\(u_t = \\Delta u^m + a f(u(x_0，t))\\)\\(\\begin{cases} u_t = \\Delta u^m + f(v) \\\\ v_t = \\Delta v^n + g(u) \\end{cases}\\)
以及
\\(u_t = f(u)\\left( \\Delta u + a \\int_\\Omega u(y，t)\\mathrm{d}y \\right)\\)
(4) 快扩散方程
\\(u_t = \\Delta u^m + a \\int_\\Omega u^n(y，t)\\mathrm{d}y\\)
(5) 具非局部源的非牛顿多方渗流方程
\\(u_t = \\mathrm{div}\\left( |\abla u|^{p-2} \abla u \\right) + a \\int_\\Omega u^n(y，t)\\mathrm{d}y\\)
(6) 具非局部源和吸收项的 p-Laplace 方程
\\(u_t = \\mathrm{div}\\left( |\abla u|^{p-2} \abla u \\right) + a \\int_\\Omega u^n(y，t)\\mathrm{d}y - b u^t\\)
(7) 具强阻尼项和对数源项的双曲方程
\\(u_{tt} + \\Delta^2 u - \\Delta u_t = |u|^{r-2} u \\log |u|^k\\)
以及
\\(u_{tt} - \\Delta u_t - \\Delta u_t = |u|^{r-2} u \\log |u|\\)
本书主要讨论上述方程 (组) 在有界区域上的初边值问题，研究方程中不同项之间的内在反应机制，揭示它们对方程 (组) 解的整体存在性、衰退、爆破或熄灭性质的综合影响，得到临界指标。方程中特殊的非线性项给问题的研究带来很大困难，如方程 (组) 的退化性或奇异性使得解的局部存在性不能由经典理论直接得到；方程组的强耦合性、非散度形式以及源项的非 Lipschitz 性导致标准的比较原理失效；吸收项的出现对所论问题解的爆破起阻碍作用；对数源项和强阻尼项的引入使得与问题对应的能量泛函结构更加复杂等。为了克服这些困难，我们利用正则化方法和先验估计得到解的局部存在性；针对问题的特殊结构证明相应的极值原理和比较原理，并利用特定的椭圆型方程的解或者常微分方程的解构造所需的上下解来证明解的整体存在、有限时刻爆破或熄灭性质；对于不满足比较原理的方程，借助 Sobolev 不等式及各种插值不等式和积分估计技巧证明相应结论；对于具强阻尼项和对数源项的双曲方程的研究，首先利用 Galerkin 方法和压缩映像原理证明问题弱解的局部存在唯一性，然后通过仔细分析位势井和井外集合的结构并结合凸方法证明解的有限时刻爆破性质.
本书第 1 章由初颖、韩玉柱和王海波完成，第 3 章由初颖、韩玉柱和成丽波完成，第 2、第 4 章由初颖完成，全书由初颖负责统稿和定稿工作。由于编者的水平有限，书中难免有错误和不妥之处，恳请专家、同行和读者批评指正.
作者2025 年 6 月
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