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《物理学中的群论――李代数篇》适合作为粒子物理、核物理和原子物理等专业研究生的群论教材或参考书, 也可供青年理论物理学家自学群论参考.
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| 內容簡介： |
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《物理学中的群论》第三版分两篇出版, 《物理学中的群论――李代数篇》是李代数篇, 但仍包含有限群的基本知识. 《物理学中的群论――李代数篇》从物理问题中提炼出群的概念和群的线性表示理论, 通过有限群群代数的不可约基介绍杨算符和置换群的表示理论, 引入标量场、矢量场、张量场和旋量场的概念及其函数变换算符, 以转动群为基础解释李群和李代数的基本知识和半单李代数的分类, 在介绍单纯李代数不可约表示理论的基础上, 推广盖尔范德方法, 讲解单纯李代数**权表示生成元、表示矩阵元的计算和状态基波函数的计算. 《物理学中的群论――李代数篇》附有习题, 与《物理学中的群论――李代数篇》配套的《群论习题精解》涵盖了习题解答.
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| 目錄：
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第1章 群的基本概念
1.1 对称
1.2 群及其乘法表
1.2.1 群的定义
1.2.2 子群
1.2.3 正N边形对称群
1.2.4 置换群
1.3 群的各种子集
1.3.1 陪集和不变子群
1.3.2 共轭元素和类
1.3.3 群的同态关系
1.3.4 群的直接乘积
1.4 正四面体和立方体对称变换群
习题1
第2章 群的线性表示理论
2.1 群的线性表示
2.1.1 线性表示的定义
2.1.2 群代数和有限群的正则表示
2.1.3 类算符
2.2 标量函数的变换算符
2.3 等价表示和表示的幺正性
2.3.1 等价表示
2.3.2 表示的幺正性
2.4 有限群的不等价不可约表示
2.4.1 不可约表示
2.4.2 舒尔定理
2.4.3 正交关系
2.4.4 表示的完备性
2.4.5 有限群不可约表示的特征标表
2.4.6 自共轭表示和实表示
2.5 分导表示、诱导表示及其应用
2.5.1 分导表示和诱导表示
2.5.2 D2n+1群的不可约表示
2.5.3 D2n群的不可约表示
2.6 物理应用
2.6.1 定态波函数按对称群表示分类
2.6.2 克莱布什一戈登级数和系数
2.6.3 维格纳一埃伽定理
2.6.4 正则简并和偶然简并
2.7 有限群群代数的不可约基
2.7.1 D3群的不可约基
2.7.2 O群和T群的不可约基
习题2
第3章 置换群的不等价不可约表示
3.1 原始幂等元和杨算符
3.1.1 理想和幂等元
3.1.2 原始幂等元的性质
3.1.3 杨图、杨表和杨算符
3.1.4 杨算符的基本对称性质
3.1.5 置换群群代数的原始幂等元
3.2 杨图方法和置换群不可约表示
3.2.1 置换群不可约表示的表示矩阵
3.2.2 计算特征标的等效方法
3.2.3 不可约表示的实正交形式
3.3 置换群不可约表示的内积和外积
3.3.1 置换群不可约表示的直乘分解
3.3.2 置换群不可约表示的外积
3.3.3 Sn+m群的分导表示
习题3
第4章 三维转动群和李代数基本知识
4.1 三维空间转动变换群
4.2 李群的基本概念
4.2.1 李群的组合函数
4.2.2 李群的局域性质
4.2.3 生成元和微量算符
4.2.4 李群的整体性质
4.3 三维转动群的覆盖群
4.3.1 二维幺模幺正矩阵群
4.3.2 覆盖群
4.3.3 群上的积分
4.3.4 SU2群群上的积分
4.4 SU2群的不等价不可约表示
4.4.1 欧拉角
4.4.2 SU2群的线性表示
4.4.3 O31群的不等价不可约表示
4.4.4 球函数和球谐多项式
4.5 李氏定理
4.5.1 李氏第一定理
4.5.2 李氏第二定理
4.5.3 李氏第三定理
4.5.4 李群的伴随表示
4.5.5 李代数
4.6 半单李代数的正则形式
4.6.1 基林型和嘉当判据
4.6.2 半单李代数的分类
4.7 张量场和旋量场
4.7.1 矢量场和张量场
4.7.2 旋量场
4.7.3 总角动量算符及其本征函数
习题4
第5章 单纯李代数的不可约表示
5.1 李代数不可约表示的性质
5.1.1 表示和权
5.1.2 权链和外尔反射
5.1.3 最高权表示
5.1.4 基本主权
5.1.5 卡西米尔不变量和伴随表示
5.1.6 谢瓦莱基
5.2 盖尔范德方法及其推广
5.2.1 方块权图方法
5.2.2 盖尔范德基
5.2.3 A2李代数的最高权表示
5.2.4 推广的盖尔范德方法
5.2.5 C3李代数的最高权表示
5.2.6 B3李代数的最高权表示
5.2.7 平面权图
5.3 直乘表示的约化
5.3.1 克莱布什一戈登系数
5.3.2 克莱布什一戈登级数
5.3.3 主权图方法
5.4 SUN群张量表示的约化
5.4.1 SUN群张量空间的对称性
5.4.2 张量子空间Jμλ的张量基
5.4.3 SUN群生成元的谢瓦莱基
5.4.4 SUN群的不可约表示
5.4.5 SUN群不可约表示的维数
5.4.6 n个电子系统的反对称波函数
5.4.7 张量的外积
5.4.8 协变张量和逆变张量
5.5 S0N群的不可约表示
5.5.1 SON群的张量
5.5.2 SO2l+1群生成元的谢瓦莱基
5.5.3 S02l群生成元的谢瓦莱基
5.5.4 SON群不可约张量表示的维数
5.5.5 г矩阵群
5.5.6 SON群基本旋量表示及其不可约性
5.5.7 SON群的基本旋量
5.5.8 SON群无迹旋张量表示的维数
5.6 S04群和洛伦兹群
5.6.1 S04群不可约表示及其生成元
5.6.2 洛伦兹群的性质
5.6.3 固有洛伦兹群的群参数和不可约表示
5.6.4 固有洛伦兹群的覆盖群
5.6.5 固有洛伦兹群的类
5.6.6 狄拉克旋量表示
5.7 辛群的不可约表示
5.7.1 酉辛群生成元的谢瓦莱基
5.7.2 辛群不可约表示的维数
习题5
参考文献
索引
《现代物理基础丛书》已出版书目
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第1章群的基本概念
群论是研究系统对称性质的有力工具.本章首先从系统对称性质的研究中，概括出群的基本概念.通过物理中常见的对称变换群的例子，使读者对群有较具体的认识.然后，引入群的各种子集的概念?群的同构与同态的概念和群的直接乘积的概念.
1.1对称
对称是一个人们十分熟悉的用语.世界处在既对称又不严格对称的矛盾统一之中.房屋布局的对称给人一种舒服的感觉，但过分的严格对称又会给人死板的感觉.科学理论的和谐美，其中很大程度上表现为对称的美.在现代科学研究中，对称性的研究起着越来越重要的作用.
我们常说，斜三角形很不对称，等腰三角形比较对称，正三角形对称多了，圆比它们都更对称.但是，对称性的高低究竟是如何描写的呢?
对称的概念是和变换密切联系在一起的，所谓系统的对称性就是指它对某种变换保持不变的性质.保持系统不变的变换越多，系统的对称性就越高.只有恒等变换，也就是不变的变换，才保持斜三角形不变.等腰三角形对底边的垂直平分面反射保持不变，而正三角形对三边的垂直平分面反射都保持不变，还对通过中心垂直三角形所在平面的轴转动角的变换保持不变.圆对任一直径的垂直平分面的反射都保持不变，也对通过圆心垂直圆所在平面的轴转动任何角度的变换保持不变.因为保持圆不变的变换*多，所以它的对称性**.
量子系统的物理特征由系统的哈密顿量Hamiltonian决定，量子系统的对称性则由保持系统哈密顿量不变的变换集合来描写.例如，N个粒子构成的孤立系统的哈密顿量为
其中，rj和mj是第j个粒子的坐标矢量和质量，r2j是关于rj的拉普拉斯Laplace算符，U是两个粒子间的二体相互作用势，它只是粒子间距离的函数.拉普拉斯算符是对坐标分量的二阶微商之和，它对系统平移?转动和反演都保持不变.作用势只依赖于粒子间的相对坐标**值，也对这些变换保持不变.若粒子是全同，哈密顿量还对粒子间的任意置换保持不变.这个量子系统的对称性质就用系统对这些变换的不变性来描述.
保持系统不变的变换称为系统的对称变换，对称变换的集合描写系统的全部对称性质.根据系统的对称性质，通过群论方法研究，可以直接得到系统许多精确的?与细节无关的重要性质.
1.2群及其乘法表
1.2.1群的定义系统的对称性质由对称变换的集合来描写.我们先来研究系统对称变换集合的共同性质.按照物理中的惯例，两个变换的乘积RS定义为先做S变换，再做R变换.显然，相继做两次对称变换仍是系统的对称变换，三个对称变换的乘积满足结合律.不变的变换称为恒等变换E，它也是一个对称变换，并与任何一个对称变换R的乘积仍是该变换R.对称变换的逆变换也是系统的一个对称变换.上述性质是系统对称变换集合的共同性质，与系统的具体性质无关.把对称变换集合的这些共同性质归纳出来，得到群group的定义.
定义1.1在规定了元素的“乘积”法则后，元素的集合G如果满足下面四个条件，则称为群.
1集合对乘积的封闭性.集合中任意两元素的乘积仍属此集合:
2乘积满足结合律:
3集合中存在恒元E，用它左乘集合中的任意元素，保持该元素不变
4任何元素R的逆R.1存在于集合中，满足
作为数学中群的定义，群的元素可以是任何客体，元素的乘积法则也可任意规定.一旦确定了元素的集合和元素的乘积规则，满足上述四个条件的集合就称为群.系统对称变换的集合，对于变换的乘积规则，满足群的四个条件，因而构成群，称为系统的对称变换群.在物理中常见的群大多是线性变换群?线性算符群或矩阵群.
如果没有特别说明，当元素是线性变换或线性算符时，元素的乘积规则都定义为相继做两次变换;当元素是矩阵时，元素的乘积则取通常的矩阵乘积.在群的定义中，群元素是什么客体并不重要，重要的是它们的乘积规则，也就是它们以什么方式构成群.如果两个群，它们的元素之间可用某种适当给定的方式一一对应起来，而且元素的乘积仍以此同一方式一一对应，常称对应关系对元素乘积保持不变，那么，从群论观点看，这两个群完全相同.具有这种对应关系的两个群称为同构isomorphism.
定义1.2若群G0和G的所有元素间都按某种规则存在一一对应关系，它们的乘积也按同一规则一一对应，则称两群同构.用符号表示，若R和，必有，则G0.G，其中符号代表一一对应，“.”代表同构.
互相同构的群，它们群的性质完全相同.研究清楚一个群的性质，也就了解了所有与它同构的群的性质.在群同构的定义里，元素之间的对应规则没有什么限制.但如果选择的规则不适当，使元素的乘积不再按此规则一一对应，并不等于说，这两个群就不同构.只要对某一种对应规则，两个群符合群同构的定义，它们就是同构的.
从群的定义出发，可以证明，恒元和逆元也满足
RE=R; 1.6
第二个式子表明元素与其逆元是相互的.由此易证群中恒元是**的，即若E0R=R，则E0=E.群中任一元素的逆元是**的，即若SR=E，则S=R.1.于是，恒元的逆元是恒元，和RS.1=S.1R.1.作为逻辑练习，习题第1题让读者证明这些结论.证明中除群的定义外，不能用以前熟悉的任何运算规则，因为它们不一定适合群元素的运算.下面我们认为这些结论已经证明，可以应用了.
一般说来，群元素乘积不能对易，RS6=SR.元素乘积都可以对易的群称为阿贝尔Abel群.若群中至少有一对元素的乘积不能对易，就称为非阿贝尔群.元素数目有限的群称为有限群，元素的数目g称为有限群的阶order.元素数目无限的群称为无限群，如果无限群的元素可用一组连续变化的参数描写，则称为连续群.
把群的子集，即群中部分元素的集合看成一个整体，称为复元素.作为集合，复元素不关心所包含元素的排列次序，且重复的元素只取一次.两复元素相等的充要条件是它们包含的元素相同，即R=S的充要条件是R.S和S.R.普通元素和复元素相乘仍是复元素.TR是由元素TRj的集合构成的复元素，而RT则由元素RjT的集合构成.设S=Sng，两复元素的乘积RS是所有形如RjSk的元素集合构成的复元素.上面出现的元素乘，如TRj，RjT和RjSk，均按群元素的乘积规则相乘.复元素的乘积满足结合律.如果复元素的集合，按照复元素的乘积规则，符合群的四个条件，也构成群.
定理1.1重排定理设T是群中的任一确定元素，则下面三个集合与原群G相同:
证明以TG=G为例证明.对群G任何元素R，有TR2G，因而TG.G.反之，因为R=TT.1R，而，所以.证完.
对于有限群，群元素数目有限，因此有可能把元素的乘积全部排列出来，构成一个表，称为群的乘法表multiplication table，简称群表.为了确定起见，对于RS=T，今后称R为左乘元素，S为右乘元素，而T为乘积元素.乘法表由下法建立:在表的*左面一列，把全部群元素列出来，作为左乘元素，在表的*上面一行，也把全部群元素列出来，作为右乘元素，元素的排列次序可以任意选定，但常让左乘元素和右乘元素的排列次序相同，恒元排在**位.表的内容有格，每一格填入它所在行*左面一列的元素R左乘元素和它所在列*上面一行的元素S右乘元素的乘积RS.因为恒元与任何元素相乘还是该元素，如果把恒元排在表中**个位置，则乘法表内容中**行和右乘元素相同，**列和左乘元素相同.由重排定理，乘法表乘积元素中每一行或列都不会有重复元素.乘法表完全描写了有限群的性质.
我们先来看二阶群和三阶群的乘法表.当把**列和**行按左乘元素和右乘元素填完后，重排定理已完全确定了表中各位置的填充，如表1.1和表1.2所示.因此准确到同构，二阶群只有一种，三阶群也只有一种.
表1.1二阶群的乘法表
在二阶群中，可让e代表恒等变换，代表空间反演变换，则这是对空间反演不变的系统的对称变换群，常记为V2.也可让e代表数1，.代表数按普通的数乘积，它们也构成二阶群，记为C2.这两个群是同构的.对三阶群有.
表1.2三阶群的乘法表
按右手螺旋法则，绕沿空间方向的轴转动角的变换记为，其中μ和''是^n方向的极角和方位角，尖角^表单位矢量.设R=R^n;2 =N，R及其幂次的集合
定义元素乘积为相继做变换，则此集合满足群的定义，构成群.一般说来，由一个元素R及其幂次构成的有限群称为由R生成的循环群，R称为循环群的生成元.CN是N阶循环群，生成元R常记为CN，称为N次固有转动，或简称N次转动.此转动轴常称为N次固有转动轴，简称N次轴.
N次转动和空间反演.的乘积记为SN，SN=.CN=CN.，称为N次非固有转动.由SN及其幂次构成的循环群记为CN，此转动轴称为N次非固有转动轴.CN群的阶是N，CN群的阶，根据N是偶数或奇数，分别是N或2N.
循环群中元素乘积可以对易，因而循环群是阿贝尔群.循环群生成元的选择不是**的，如循环群CN中，CN和CN.1N都可作生成元.循环群的乘法表有共同的特点，当表中元素按生成元的幂次排列时，表的每一行都可由前一行向左移动一格得到，而*左面的元素移到*右面去.
现在来研究四阶群的乘法表.四阶循环群C4的乘法表如表1.3所示，其中R的自乘和T的自乘都不等于恒元，它们的四次幂才是恒元.如果四阶群中所有元素的自乘都是恒元，由于重排定理，这样的四阶群乘法表只能如表1.4所示.设和分别是空间反演?时间反演和时空全反演，则此群称为四阶反演群V4.也由于重排定理，四阶群中除恒元外的任一元素的三次幂不能等于恒元.因此，准确到同构，四阶群只有两种:如果群中所有元素自乘都是恒元，它就与V4群同构;否则，它就与C4群同构.
表1.3四阶循环群C4的乘法
表1.4四阶反演群V4的乘法表
1.2.2子群
群G的子集H，如果按照原来的元素乘积规则，也满足群的四个条件，则称为群G的子群subgroup.注意，乘积规则是群的*重要的性质，如果给子集元素重新定义新的乘积规则，那它就与原群脱离了关系，即使此子集构成群，也不能称为原群的子群.任何群都有两个平庸的子群:恒元和整个群.但通常更关心非平庸子群.
既然有限群的元素数目是有限的，那么有限群任一元素的自乘，当幂次足够高时必然会有重复.由群中恒元**性知，有限群任一元素的自乘若干次后必可得到恒元.若Rn=E，n是R自乘得到恒元的**幂次，则n称为元素R的阶，R生成的循环群称为元素R的周期.元素的周期构成子群，称为循环子群cyclicsubgroup.阶数为n的循环子群，通常就记为Cn，必要时用撇来加以区分.恒元的阶为1，其他元素的阶都大于1.不同元素的周期也可有重复或重合.请注意不要混淆群的阶和元素的阶这两个不同的概念，只有循环群生成元的阶才等于该群的阶.
如何来判定一个子集是否构成子群?既然子集元素满足原群的元素乘积规则，结合律是显然满足的.如果子集对元素乘积封闭，则它必定包含子集中任一元素的周期，对有限群来说，元素R的周期包含了恒元和逆元R.1，因此对有限群，检验子集是否满足封闭性就可以判定子集是否构成子群.当然对无限群，判定子群还必须检验恒元和逆元是否在子集中.不含恒元的子集肯定不是子群，这是否定子集为子群的一个*简单判据.
有限群中任一元素R的周期构成群中一个子群.若此子群尚未充满整个群，则在子群外再任取群中一元素S，由R和S所有可能的乘积构成一个更大的子群.若它还没有充满整个群，则再取第三个?第四个元素加入上述乘积，*后总能充满整个有限群，即群中所有元素都可表为若干个元素的乘积.适当选择这些元素，使有限群中所有元素都可表为尽可能少的若干个元素的乘积，这些元素称为有限群的生成元，生成元不能表成其他生成元的乘积.有限群生成元的数目称为有限群的秩.
1.2.3正N边形对称群
把正N边形放在xy平面上，中心和原点重合，一个顶点在正x轴上.保持正
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