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| 內容簡介： |
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《数学分析习题课教程（上册）》是大学数学系一、二年级基础课程“数学分析”的配套习题课教材，分上、下两册。《数学分析习题课教程（上册）》是上册，主要讲解实数域的基本理论、数列的极限、一元函数的极限和连续性、一元函数的微分学及其应用，以及一元函数的积分学及其应用等内容典型的、常用的习题解法与技巧，帮助学生夯实基础、深化学习。每堂习题课都以相应章节需要学生重点掌握和比较难掌握的内容为主题进行讲解，帮助学生学懂数学分析。虽然《数学分析习题课教程（上册）》是以习题课教材的形式编写的，但对相应章节主要概念和理论都做了简要回顾和归纳总结，例题兼顾易、中、难三个层次，以中、难为主，给出尽可能详尽的解题过程，引发思考。在附录中还给出常用公式表格，可脱离主教材*立使用。
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目录前言 第1课 实数域和初等函数 11.1 数学归纳法 11.2 基本不等式和建立不等式的常用技巧 51.3 戴德金原理和确界原理 81.4 基本初等函数 12第2课 数列的极限 182.1 数列极限的定义 182.2 求数列极限的几种基本方法 262.2.1 运用极限的初等运算求数列极限 272.2.2 运用两边夹法则求数列极限 282.2.3 运用单调有界原理求数列极限 302.2.4 建立形如*的估计式求数列极限 34第3课 数列的极限（续） 383.1 特殊极限* 383.2 数列收敛的柯西收敛准则 423.2.1 应用柯西收敛准则证明数列收敛或发散 423.2.2 建立形如*的估计式求数列极限 463.3 数列的上、下极限 48第4课 函数的极限 554.1 函数极限的定义与运算 554.1.1 函数极限的定义 554.1.2 函数极限的运算 574.1.3 复合函数的极限和变量替换法则 604.2 两个重要极限以及等价无穷小量和等价无穷大量 634.2.1 两个重要极限 634.2.2 等价无穷小量和等价无穷大量 69第5课 函数的连续性 765.1 连续函数的定义、运算与连续函数的性质 765.1.1 连续函数的定义与运算 765.1.2 连续函数的性质 805.2 函数的一致连续性 87第6课 函数的导数和微分 936.1 导数和微分 936.2 高阶导数 107第7课 导数的应用 1167.1 微分中值定理 1167.2 洛必达法则 1247.3 利用导数判定两个函数相等 133第8课 导数的应用（续一） 1388.1 函数的增减性和建立不等式的方法一 1388.2 函数的凸凹性和建立不等式的方法二 143第9课 导数的应用（续二） 1499.1 函数泰勒展开式的建立 1509.2 泰勒展开的应用之一：求极限 1549.3 泰勒展开的应用之二：研究函数的性质和建立不等式 160第10课 不定积分（一）——求不定积分的基本方法 17010.1 不定积分的三个基本性质 17010.2 换元积分法 17310.2.1 **换元法 17310.2.2 第二换元法 17510.3 分部积分法 177第11课 不定积分（二）——几类初等函数的积分 18211.1 有理函数的积分 18211.2 三角函数有理式的积分 18711.3 某些无理函数的积分 19311.4 其他类型的积分 200第12课 定积分 20412.1 定积分的概念和基本性质 20412.2 定积分的计算 21612.3 函数可积的柯西准则、积分中值定理和变限积分 235第13课 定积分（续） 24813.1 函数可积的达布准则 24813.2 积分不等式的证明 26313.3 其他与定积分相关的一些问题 274第14课 定积分的应用 28014.1 定积分在分析学中的应用 28014.2 定积分在几何学中的应用 286第15课 广义积分 29715.1 广义积分敛散性的判定 29815.2 广义积分的证明题与计算题 31715.2.1 无穷积分的证明题 31715.2.2 瑕积分和更一般广义积分的证明题 33315.2.3 定积分公式的推广 341部分习题参考答案和提示 356参考文献 380附录 附录1 常用常数表 381附录2 常用代数公式 382附录3 常用三角函数和反三角函数公式 383附录4 常用双*函数和反双*函数公式 385附录5 常用导数公式 386附录6 常用泰勒展开公式 387附录7 常用积分公式 389附录8 一些平面*线的图形 393
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第1课实数域和初等函数 **堂习题课围绕数学分析课程的“实数域和初等函数”这一章展开。这一章既是为衔接中学课程而设，也是为整个“数学分析”课程打基础，主要讲述实数域的完备性，并据此对中学所学基本初等函数知识的内容加以完善，建立后续各章需要用到的一些基本不等式。学习本章应掌握以下三个方面的内容： （一）一些基本的不等式和建立不等式的常用技巧； （二）实数域完备性的两个刻画：戴德金原理和确界原理； （三）对中学所学基本初等函数知识的补充和函数概念的加固。 其中*重要的是（二），即刻画实数完备性的戴德金原理和确界原理这两个基本原理。鉴于数学归纳法在中学数学课程中没有系统讲授，而这个原理以后需要经常使用，所以本节课我们先对数学归纳法做简要的讨论，然后再展开上面三个内容。 在本书中，凡是提到“课本”，都是指由本书作者编著、科学出版社出版的《数学分析教程》（上册、中册、下册）(第二版)。 1.1数学归纳法 数学归纳法有多种互相等价的形式。常用的有两种：**数学归纳法和第二数学归纳法。 **数学归纳法设是一个正整数，对每个正整数联系有一个相应的命题。假设以下两个条件满足： (1)是真命题； (2)若对某个，是真命题，则也是真命题。 则对所有正整数，都是真命题。 条件(2)中的假设条件“对某个，是真命题”叫做归纳假设。 直观地看，由条件(1)知是真命题，据此应用条件(2)知是真命题，据此再应用条件(2)知是真命题，据此再应用条件(2)知是真命题，如此一直推导下去，即知对所有正整数，都是真命题。但是这里的问题是：这样的推导要做无穷多次，我们有限的生命能不能完成无穷多次的推理？显然不可能。为了解决这个问题，人们便把数学归纳法认作不需要给予证明的先天性的公理(takeforgranted)。 第二数学归纳法设是一个正整数，对每个正整数联系有一个相应的命题。假设以下两个条件满足： (1)是真命题； (2)若对某个，所有都是真命题，则也是真命题。 则对所有正整数，都是真命题。 同样，条件(2)中的假设条件“对某个，所有都是真命题”也叫做归纳假设。 第二数学归纳法中的条件(2)比**数学归纳法中的条件(2)弱，但同样地，对第二数学归纳法，由条件(1)知是真命题，据此应用条件(2)知是真命题，据此再应用条件(2)知是真命题，据此再应用条件(2)知是真命题，如此一直推导下去，即知对所有正整数都是真命题。也可用这样的推理，直接从**数学归纳法证明第二数学归纳法。事实上，可以证明这两个数学归纳法互相等价，且都等价于以下命题。 *小数原理设是由整数组成的一个非空集合。假设它有下界，即存在整数，使成立，则中有*小数，即存在，使成立。 关于**数学归纳法、第二数学归纳法、*小数原理这三个命题等价性的证明，留给读者自己给出，这里从略。 例1.1已知 证明先证明数列单调减少，即成立 事实上，由平均值不等式得 故(1.2)成立。 下面应用数学归纳法证明不等式(1.1)。当时，有 可见不等式(1.1)当时成立。假设已知不等式(1.1)对某个正整数成立，往证它对正整数也成立。为此注意不等式(1.1)等价于 由于数列单调减少，所以应用归纳假设得 表明不等式(1.3)在时成立，从而其等价的不等式(1)在时也成立。因此由数学归纳法即知不等式(1.1)对所有正整数都成立。 注意不等式(1.1)实际上对所有都成立，但对不成立。 例1.2设都是正数且。证明：，并且等号成立当且仅当。据此证明平均值不等式。 证明用数学归纳法。当时题中结论显然成立。假设已知题中结论对某个正整数成立，往证它对正整数也成立。故设都是正数且。如果，题中结论显然成立。下设不全等于1，于是其中至少有一个数大于1，另至少有一个数小于1。不妨设。于是 由于，根据归纳假设有 这就证明了：当题中结论对某个正整数成立时，也必对正整数成立。所以由数学归纳法即知题中结论对所有正整数都成立。 对任意正数，由于成立 所以有 而且等号成立当且仅当。变形以上不等式，便得到了平均值不等式。 需要注意的是，数学归纳法中的条件(1)是不能忽略的。初学者往往会猜想：只要条件(2)满足，便一定存在一个正整数使对所有正整数，都是真命题。这个猜想并不成立。虽然反例很难举出，但确实存在，如下例。 例1.3证明：如果等式 对某个正整数成立，则它对正整数也成立。问是否据此可推知必存在正整数使这个等式对所有正整数都成立？ 证明假设等式(1.4)对某个正整数成立，即有 对上式两端同加以，得 表明等式(1.4)在也成立。注意等式(1.4)等价于 而这个等式显然对所有正整数都不成立，说明在数学归纳法中，由条件(2)满足不能断定必存在正整数使命题对所有正整数都成立。 习题1.1 1.应用数学归纳法证明下列公式： 2.应用数学归纳法证明下列公式(\\(n\\)为正整数)：
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