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Shannon， 1916.4.30 – 2001.2.24）为名。书系的策划者为从香农所在的美国麻省理工学院归国的信息科学家。书系中除了包含信息领域传统分支的图书，还包括像“人工智能的信息论方法”与“信息科学中的博弈论”等前沿交叉学科的子系列。关于书系与香农的更多介绍，请见世图公号文章《一个新书系的诞生——香农、信息时代与“香农信息科学经典”》。 關於作者： 马克·梅扎尔（Marc Mézard）是法国著名学府巴黎高等师范学院的校长。他是欧洲科学院的院士，获得过法国科学院的安培奖和亚伯拉罕奖、法国国家科学研究中心的银质奖章、德国的洪堡奖、美国物理学会的拉斯·昂萨格奖和意大利国际理论物理中心的萨拉姆杰出讲座奖。 安德里亚·蒙塔纳里（Andrea Montanari）是美国斯坦福大学电子工程系与统计系两系的合聘教授，也是数学系的兼职教授。他是国际电气电子工程师学会的杰出会士（IEEE Fellow）和国际数理统计学会的杰出会士（IMS Fellow），还曾受邀成为2015—2016年度IEEE信息论协会杰出讲师、2018年国际数学家大会报告人和2020年国际数理统计学会奖章讲座演讲人。他获得过法国国家科学研究中心的铜质奖章、美国自然科学基金委员会杰出青年奖、日本大川研究助成奖、IEEE信息论协会的詹姆斯·梅西科研与教育奖、法国统计学会的勒·卡姆奖、ACM SIGMETRICS论文奖和INFORMS应用概率协会的论文奖。 目錄： PART I. BACKGROUND Introduction to information theoryStatistical physics and probability theoryIntroduction to combinatorial optimizationA probabilistic toolbox PART II. INDEPENDENCE The random energy modelThe random code ensembleNumber partitioningIntroduction to replica theory PART III. MODELS ON GRAPHS Factor graphs and graph ensemblesSatisfiabilityLow-density parity-check CodesSpin glassesBridges: inference and the Monte Carlo method PART IV. SHORT-RANGE CORRELATIONS Belief propagationDecoding with belief propagationThe assignment problemIsing models on random graphs PART V. LONG-RANGE CORRELATIONS Linear equations with Boolean variablesThe 1RSB cavity methodRandom K-satisfiabilityGlassy states in coding theoryAn ongoing story Appendix A. Symbols and notation References 內容試閱： 在过去的几年里，统计物理学、计算机科学与信息论领域的科学家们开展了意料之外的合作，给一些研究领域带来了重要进展。但是，科学学科之间的这种对话并非没有困难，因为每个领域都有其各自的目标和行为准则。尽管如此，人们仍更加一致认为，存在着一个或将硕果累累的共通点。本书旨在通过一种统一的方式，选取一些得益于学科融合的重要研究问题，方便大家更广泛地了解这一共通点。 　　历史上，自香农（Shannon）于60年前，使用熵（entropy）来量化消息的信息量以来，信息论和统计物理开始有了紧密的联系。熵在更早几十年前就已经成为玻尔兹曼（Boltzmann）统计力学的基石。但是，这两个主题却一直分别朝着不同的方向发展。现在大多数统计物理学家对信息论知之甚少，而大多数信息理论家同样对统计物理知之甚少。这让人感到相当遗憾，因为自过去二十年以来，在各自领域核心问题上取得的进展，已经不知不觉地将这两条路变越来越近。与此同时，人们对在计算机科学中应用概率概念越来越感兴趣，其在设计和分析新算法上都能有用武之地。统计物理学家们已经开始在这一领域中应用他们发展出来的非严格技术来研究无序系统。反过来，他们也已经逐渐意识到计算机科学家发明的计算技术之强大，并将其应用于大规模模拟。 　　在20世纪的后25年里，我们见证了统计物理学中一个新课题的诞生。在此之前，我们主要着眼于“有序”材料：原子在周期性晶格中绕平衡位置振动的晶体，或是粒子密度均匀的液体和气体。在70年代，随着对自旋玻璃、结构玻璃、聚合物网络等进行研究，人们对强无序系统的兴趣开始与日俱增。之后之所以发展得如此迅猛，是因为这些系统涌现出了大量难以置信的特性，而且它们在材料科学中有着诸多应用，更何况其中的各种概念问题还牵扯到对这些特性的理解。统计物理学涉及到许多相互作用组分的集体行为。对于无序系统而言，它起始于研究所有组分非均匀的系统的集体行为。这为研究物理学之外的大量问题开辟了道路，而非均匀性（heterogeneity）便是它们之间的“通货”。 　　近信息论中一些引人注目的进展与纠错码有关。香农定理问世五十多年后，接近香农理论极限的有效编码已经被找到。Turbo码和低密度奇偶校验（LDPC）码在错误校正性能上都有了极大提高。这些新型编码的特点之一便是消息传递译码策略，比如著名的“信念传播”算法。这些方法和发展于统计物理学的无序系统平均场理论密切相关。 　　从随机算法到概率组合学，概率论在理论计算机科学中扮演了一个重要角色。研究计算问题的随机集成，是为了模拟真实世界的情况，测试现有的算法，或是开发新的算法。在这类研究中，人们通常定义一族实例并赋予它一个概率测度，就自旋玻璃或LDPC码而言，如同对其定义一族样本。我们发现，在所有的现有算法中，难解决的实例都与引发很大兴趣的相变边界息息相关。实际上，相变（phase transition）或阈值现象（threshold phenomenon）在这三个领域中都有被发现，并且在各自领域都起着核心作用。从分析角度去预测和理解它们是当下的一个主要挑战。同时它也会影响到今后有效算法的设计。统计物理学表明，之所以随机约束满足问题（CSP）的难度与相变息息相关，是因为它与结构有关：其取决于解集几何中玻璃转变与结构改变是否存在。这种理解开辟了新的算法视角。 　　为了强调上述这些领域的研究兴趣与方法开始真正地融合，本书采用一种统一化的处理方式。我们关注那些日益复杂的课题，在结构上组织成五大部分。每个部分通常包含三个章节，分别呈现了信息论、统计物理和组合优化这三门学科中的一些核心课题。而每部分课题都有一个共同的数学结构，其是连接各章的桥梁。 部分（第1-4章）包含对应三个学科的介绍性章节和一些常见的概率论工具。第二部分（第5-8章）讨论了扮演重要角色的独立性（independence）问题：随机能量模型（random energy model）、随机码集（random code ensemble）和数字分区（number partitioning）。由于随机变量的独立性，经典技术可成功地应用于这些问题。该部分以描述复本方法收尾。第三部分（第9-13章）描述了图（graph）上问题的集成：可满足性（satisfiability）、低密度奇偶校验码（low-density parity-check code）和自旋玻璃（spin glass）。因子图（factor graph）和统计推断（statistical inference）为我们提供了一种通用语言。第四部分（第14-17章）解释了信念传播（belief propagation）和相关的“复本对称”空腔方法（“replica-symmetric” cavity method）。当相关性随着距离的增加而衰减得足够快时，这些方法被认为可用于研究大规模图上的相关随机变量系统。该部分展示出此方法可成功用于以下三个问题：译码（decoding）、指派（assignment）和铁磁体（ferromagnet）。第五部分（第18-22章）主要关于长程关联的一个重要结果，即纯态的扩增（proliferation of pure states）和“复本对称破缺（replica symmetry breaking）”。它从具有布尔变量（Boolean variable）的随机线性方程这个更简单的问题入手，然后发展出一般的方法，并将其应用于可满足性和编码。后一章回顾了一些有待解决的问题。 　　在每一章的末尾，都会有一段注释用来指出相关的参考文献。附录A汇总了本书的记号和符号。在正文和索引中以粗体标记新概念的定义。这本书还包含了许多不同难度的例子和练习，用浅灰色背景来表示。它们也是本书重要的组成部分。 　　随着本书内容的推进，我们开始探究一些越来越鲜为人知的课题。与此前内容的不同之处在于，有数学证明的陈述减少了，并且我们在某些地方开始依赖于启发式的或直觉上的解释。我们已经十分努力地去区分已经证明的和未被证明的，并尽可能清晰鲜明地介绍后者。我们希望这将激发有数学思维的读者的兴趣，并能尝试为之做出贡献，而不是疏远它们。 　　这是一本研究生水平的书，旨在为任何有志于学习、了解这一交叉研究领域中主要概念与方法的学生或科研人员提供帮助。开篇的介绍性章节已帮助我们构建了共同语言，因此，任何具有一些数学标准背景（概率、线性代数和微积分）的理科研究生都应该可以理解本书的内容。 　　我们选择详细介绍一些选定的问题，有不少其他的有趣课题与应用没有选入，而它们中的一部分也是信息、物理和计算三者交叉感兴趣的课题，例如信源编码（source coding）、多输入多输出通信（multiple-input multiple-output communication），以及神经网络中的学习与推理。本书所研究的概念和技术也已被更广泛地应用于“复杂系统（complex system）”的研究之中——从神经生物学或系统生物学，到经济学和社会科学。一些相关参考文献的介绍放在了第22章的注释。 　　Heiko Bauke、Alfredo Braunstein、John Eduardo Realpe Gomez、Florent Krzakala、Frauke Liers、Stephan Mertens、Elchanan Mossel、Sewoong Oh、Lenka Zdeborová等人的批判性审读和许多评论都对我们非常有帮助。我们十分感谢他们的反馈。我们也受到了Amir Dembo、Persi Diaconis、James Martin、Balaji Prabhakar、Federico Ricci-Tersenghi， Bart Selman和Rüdiger Urbanke的鼓励，以及牛津大学出版社Sonke Adlung的周全关照与持续支持。

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