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| 內容簡介： |
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该书是调和分析大师stein的力作，长期被普林斯顿、哈佛等众多名校作为教材使用。总体分为测度、积分以及希尔伯特空间三部分。通过傅立叶级数的完备化、连续函数的极限、曲线的长度、微分与积分等问题说明经典微积分的局限性；进而指出解决以上问题的关键在于某种测度的存在性问题。而勒贝格测度就是这样的测度。以此为基础建立实分析理论。用统一、联系的观点看待现代分析，把现代分析的不同分支领域视为高度相互联系而非分离的学科。通过这些联系可以使读者在整体上对现代分析这一学科有更好的理解。对基本概念和基本方法的来龙去脉、后续应用、主要思想的阐述非常详尽、透彻。特别强调了抽象概念的引入是为了解决直观、鲜明的重要问题而非一味追求概念的推广、深化。书中主要篇幅在于对基本概念和基本方法的说明。而几乎没有复杂的推导计算。这与一些定义-定理-证明的“标准”教科书写法截然不同。该书的适用面很广。虽然该书包含了许多现代的内容，但是起点却不高。只要掌握初等微积分、线性代数的基本内容即可学习此书。因此适用于数学、物理、工程金融的本科、硕士学生。对相关专业的研究人员也有重要的参考价值。
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| 目錄：
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目录
译者序
前言
引言
1傅里叶级数：完备化
2连续函数的极限
3曲线的长度
4微分与积分
5测度问题
第1章测度论
1预备知识
2外测度
3可测集与勒贝格测度
4可测函数
4 1定义与基本性质
4 2用简单函数或阶梯函数逼近
4 3李特尔伍德三大原理
5+Brunn-Minkowski不等式
6习题
7问题
第2章积分理论
1勒贝格积分：基本性质与收敛定理
2可积函数空间F
3Fubini定理
3 1定理的叙述与证明
3 2Fubi¨ni定理的应用
4+傅里叶反演公式
5习题
6问题
第3章微分与积分
1积分的微分
1 1哈代一李特尔伍德极大函数
1 2勒贝格微分定理
2好的核与恒同逼近
第4章希尔伯特空间简介
第5章希尔伯特空间：几个例子
第6章抽象测度和积分理论
1 3延拓定理
2测度空间上的积分
3例子
3 1乘积测度和一般的Fubi¨ni定理
3 2极坐标的积分公式
33R上的博雷尔测度和勒贝格一靳蒂尔切斯积分
4测度的绝对连续性
4 1带号测度
4 2绝对连续性
5+遍历定理
5 1平均遍历定理
5 2极大遍历定理
5 3逐点遍历定理
5 4遍历保测变换
6+附录：谱定理
6 1定理的叙述
6 2正算子
6 3定理的证明
6 4谱
7习题
8问题
第7章豪斯多夫测度和分形
1豪斯多夫测度
2豪斯多夫维数
2 1例子
2 2自相似
3空间填充曲线
3 1四次区间和二进正方形
3 2二进对应
3 3佩亚诺映射的构造
4''Besicovitch集和正则性
4 1拉东变换
4 2当d≥3时集合的正则性
4 3 Besicovitch集有维数2
4 4 Besicovitch集的构造
5习题
6问题
注记和参考
符号索引
参考文献
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| 內容試閱：
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从2000年春季开始，四个学期的系列课程在普林斯顿大学讲授，其目的是用统一的方法去展现分析学的核心内容。我们的目的不仅是为了生动说明存在于分析学的各个部分之间的有机统一，还是为了阐述这门学科的方法在数学其他领域和自然科学的广泛应用。本系列丛书是对讲稿的一个详细阐述。
虽然有许多优秀教材涉及我们覆盖的单个部分，但是我们的目标不同：不是以单个学科，而是以高度的互相联系来展示分析学的各种不同的子领域。总的来说，我们的观点是观察到的这些联系以及所产生的协同效应将激发读者更好地理解这门学科。记住这点，我们专注于形成该学科的主要方法和定理（有时会忽略掉更为系统的方法），并严格按照该学科发展的逻辑顺序进行。
我们将内容分成四卷，每一卷反映一个学期所包含的内容，这四卷的书名如下：
I傅里叶分析导论。
Ⅱ复分析。
Ⅲ实分析：测度论、积分以及希尔伯特空间。
Ⅳ泛函分析：分析中的几个论题。
但是这个列表既没有完全给出分析学所展现的许多内部联系，也没有完全呈现出分析学在其他数学分支中的显著应用。下面给出几个例子：第一册中所研究的初等（有限的）Fourier级数引出了Dirichlet特征，并由此得到等差数列中有无穷多个素数；X一射线和Radon变换出现在卷I的许多问题中，并且在卷Ⅲ中对理解二维和三维的Besicovitch型集合起着重要作用；Fatou定理断言单位圆盘上的有界解析函数的边界值存在，并且其证明依赖于前三册书中所形成的方法；在第一册中，日函数首次出现在热方程的解中，接着第二册使用日函数找到一个整数能表示成两个或四个数的平方和的个数，并且考虑f函数的解析延拓。
对于这些书以及这门课程还有几句额外的话。一学期使用48个课时，在很紧凑的时间内结束这些课程。每周习题具有不可或缺的作用，因此，练习和问题在我们的书中有同样重要的作用。每个章节后面都有一系列“练习”，有些习题简单，而有些则可能需要更多的努力才能完成。为此，我们给出了大量有用的提示来帮助读者完成大多数的习题。此外，也有许多更复杂和富于挑战的“问题”，特别是用星号s标记的问题是最难的或者超出了正文的内容范围。
尽管不同的卷之间存在大量的联系，但是我们还是提供了足够的重复内容，以便只需要前三本书的极少的预备知识：只需要熟悉分析学中初等知识，例如极限、级数、可微函数和Riemann积分，还需要一些有关线性代数的知识。这使得对不同学科（如数学、物理、工程和金融）感兴趣的本科生和研究生都易于理解这套书。
我们怀着无比喜悦的心情对所有帮助本套书出版的人员表示感激。我们特别感谢参与这四门课程的学生。他们持续的兴趣、热情和奉献精神所带来的鼓励促使我们有可能完成这项工作。我们也要感谢Adrian Banner和Jose Luis Rodrigo，因为他们在讲授这套书时给予了特殊帮助并且努力查看每个班级的学生的学习情况。此外，Adrian Banner也对正文提出了宝贵的建议。
我们还希望特别感谢以下几个人：Charles Fefferman，他讲授第一周的课程（成功地开启了这项工作的大门）；Paul Hagelstein，他除了阅读一门课程的部分手稿，还接管了本套书的第二轮的教学工作；Daniel Levine，他在校对过程中提供了有价值的帮助。最后，我们同样感谢Cerree Pecht，因为她很熟练地进行排版并且花了时间和精力为这些课程做准备工作，诸如幻灯片、笔记和手稿。
我们也感谢普林斯顿大学的250周年纪念基金和美国国家科学基金会的VI．CRE项目的资金支持。
伊莱亚斯M．斯坦恩拉米·沙卡什于普林斯顿2002年8月在实分析这卷中，我们建立了关于测度论与积分的基本事实，这使我们重新审视和进一步发展前面几卷的几个重要的主题，进而介绍了分析学的一些相当引人人胜的其他分支。为了帮有兴趣的读者，书中还附有包含更前沿的材料，以星号s标注这些内容在第一次读的时候可以略去。
2004年11月
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