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在这本专著中，肖老师较为系统地总结了进行初等数学研究的一些方法，并以案例的形式对如何发现问题、提出问题以及研究问题的方法进行了说明和补充。专著首先对初等数学研究的内容进行了一些综述和范围界定，并将该专著中初等数学研究的主要内容概括为初等数学的命题与解题的研究（包括教材、试题等）；基于数学软件环境下的数学思想与方法（类比、猜想等）的研究；结合高等数学方法的初等数学问题研究以及数学史的研究与初等数学问题的溯源研究等四个方面。这一概括既符合数学科学特质，也符合初等数学教育特质，体现了作者独到的思考。在此基础上，作者进一步重点讨论了在进行初等数学研究时的工具（如信息技术的使用）和重要的思想方法（如类比与联想、一般化与特殊化、正向思维与逆向思维、极限思想与整体思想）等。对研究工具和思想方法作了科学归纳。 当然，仔细研读了这本专著后，我们可以感受到作者的核心目的并不局限于方法的罗列和划分，而是向基础数学教育工作者提出这样一个问题：怎样让数学的教与学成为一个整体？作者提出了这样一个观点：教师的教与学生的学实际上是一枚硬币的两个面，并且在一定条件下是可以转化的，即教师的学与学生的教，体现了教学相长的教育理念。因此教师应该养成时时思考的习惯，既要对数学知识体系有完整而深刻的认识和经常性的思考，又要善于从学生的学中学习。 该专著中提供的案例，既有作者或同事教学过程中碰到的问题，如关于正四面体射影面积问题的向量处理球和圆柱侧面可展性的一个证明，也有他们由一些数学问题出发引起的思考，如四边形的内切椭圆CalkinWilf树，SternBrocot树与正有理数的排列等。从这些案例中可以看出，肖老师在初等数学研究领域多年的坚持与积累，以及对初等数学问题的敏锐和扎实的数学功底。这些为一线数学教师的专业发展提供了一个可参考、可借鉴的真实案例。 李秋明 2017年4月 （李秋明，复旦大学附属中学数学教研组组长，上海市中小学正高级教师，上海市特级教师。兼任上海市教育学会中小学数学专业委员会委员，上海市数学会理事，上海市教师学研究会数学专业委员会副主任，上海市普教系统高级教师评审委员会委员，上海市名师、名校长培养工程中学数学基地主持人。中国数学奥林匹克高级教练员，杨浦知识创新区第六批、第七批、第八批拔尖人才。） 序二 我与肖恩利老师之间，极其投缘。2002年，他从华东师范大学硕士研究生毕业分配到复旦附中，与我同处一个办公室十多年。认识他，为我的后半生交来一些好运。 我们一起讨论过很多大学或中学的一些数学问题的思路，许多都涉及数学教学问题，这样经常的讨论，促使我不断养成坚持阅读的习惯。当时，复旦附中对新来的教师的培养还是传统的、经验型的，即一位老教师带教一位新教师的传、帮、带模式，我带教的青年教师就是肖恩利。所以，在教学上，相互接触的机会比其他老师要多一些。 我们之间并不像传统的师徒，师道尊严，我的带教看似非常松散，但别具一格。关于我课堂教学的课不必多听，只要知道我的教学风格即可。我对一个人天天听我的课感到压力很大，担心不能把他带好，而且，经常有老师坐在教室听课是会分散学生的注意力的。于是，想了一个减缓压力的办法，告诉他三原则：其一是多听曾容老师的课，因为曾容老师是沪上鼎鼎有名的数学特级教师，他对课堂教学又情有独钟，尤精于数学概念教学，他毕生努力实践的数学过程教学独树一帜，他老人家是首届苏步青中学数学奖的获奖人，曾担任两届中国数学会理事，上海市中小学数学教育研究会副理事长，上海市中学生业余数学学校校长，他可谓是国宝级人物。其二是多听我的活动课、研究课，以保持听课的总量不变。对于怎样教导培养学生，特别是指导学生研究型教学方面要多与我讨论，无论是数学专业的还是人生经历的，可以无话不谈，各抒己见，使年轻人没有思想负担，高高兴兴地去钻研教材。其三是建议他多阅读书籍，尤其是要多了解数学的人文、历史、数学家的逸闻趣事。要养成多去图书馆阅读、浏览数学杂志的习惯，向全国名师学习，博采众长。这样持之以恒，教学水平一定会从量变到质变，产生飞跃。 带教他3年期满之后，他从徒弟渐渐变成了师傅。但是，我们已经养成了习惯，还是喜欢经常在一起讨论数学问题，经常讨论拔尖学生的培养问题。 单就写数学教学辅导用书来说，我们有过长期合作的经历，每当出版社约我撰写著作，我就拟好提纲，将书的内容的整体框架设计好，写出一个样本，然后编好目录，先让他根据自己的兴趣、爱好自主挑选一半的任务，所剩下的任务归我完成。如2004年由复旦大学出版社出版的《高考数学一月通》，2005年由希望出版社、上海电子出版公司联合出版的《高考数学高分对策80讲》《高考数学复习测试题30套》，这3部著作有一百万字之多，都是这样由我和他共同完成的。现在这三本书都已经绝版了，我还是会听到一些熟悉或不甚熟悉的朋友，称赞其使他们受益。这给我很大的快慰。今后每当读者读到以上三部著作，切记这是肖恩利与我合作的产物。 他在编著书籍的任务中得到了锻炼，增长了才干，这使他拥有浓浓的成就感。我们之间，不仅编写数学教学参考资料，还合作写过多篇有关数学教学科研论文，发表于中文核心刊物，其中有的数学教学论文还被中国人民大学报刊复印中心《中学数学教学》杂志收录。长久以来，我经常把找我做的工作推给他去做，我觉得有些不好意思，我唯一心安理得的是，我所认识的人中，他是最合适的。数学杂志社邀我审稿、命题的任务，我也是交给他完成的。这是非常辛苦的工作，感谢他能如期按质按量地完成任务。 我认为肖恩利不仅数学论文写得很好，而且人品也很好。其长处有两点：一是与人为善。他计算机玩得很好，我经常向他请教计算机问题。无论我提出什么图形，他都可以尽善尽美地表现出来。他看我操作速度较慢，总是叫我有什么事给他帮忙做就行，这样既快又好。而我则不希望他代劳，一定要他具体教我操作，为的是学会了这门技术，可以更好地指导学生做数学课题。二是他善于发现问题，总结教学经验，数学钻研得精深。当你读完这部著作，一定能感受到他宽阔的知识面和严谨的文字表达功夫，以及他在数学园地耕耘中所达到的高度。 我得知肖恩利要编著《问题方法中学数学探究案例集》一书从酝酿到成稿已经有一年多时间了。还记得是在学校的大操场上参加2016年的第一次升旗仪式，他兴冲冲地告诉我，他申报的科研课题得到了杨浦区学科带头人的科研基金的资助，将写一本有关中学数学探究案例集的著作，邀我将未发表的文章都收录于他的著作中，我非常感动。过去期待投稿发表一篇数学论文的那种艰辛，至今历历在目。如今，哪怕是发表十篇数学论文，都变得那么容易，几乎是唾手可得，这真是太不可思议了。这是因为肖恩利老师是中学高级教师，中国数学奥林匹克高级教练员，上海市中学生业余数学学校教练员。他多次荣获中国数学会高中、初中数学联赛优秀教练员称号，是杨浦区第八批教育系统拔尖人才和杨浦区第四届学科带头人。他获得上海市中小学中青年教师教学评选活动一等奖，在《数学通报》《数学教学》《数学通讯》等数学核心类期刊上发表十余篇论文，并与他人合著多本书籍。 我和肖恩利有着千丝万缕的关系，记得2008年，我任教班级的学生施通通到美国西德维尔友好学校（Sidwell Friends School）交流一年，西德维尔友好学校的老师和同学对他的出色表现赞不绝口，很想知道复旦附中的数学教学风格和秘诀，经他与学校联系，要复旦附中委派一位数学老师到美国西德维尔高中参加美国独立学校协会（National Association of Independent Schools，简称NAIS）年会，肖恩利有幸受学校委派。在出访前，他与我讨论报告的选题及其内容。最终，他不负众望，以《中国数学教学》为题，在NAIS的小组会上作了成功的报告。2009年，上海市科学技术协会组织的英才俱乐部，为了指导上海中学生的数学课题研究，邀请的大学教授是束金龙先生，而邀请的中学老师是我。他向我问起肖恩利的教学情况。我才知道，他原来是肖恩利的硕士生导师。而在肖恩利的教学生涯中，恰巧我们相遇。 在我退休之际，能看到肖恩利的有关数学方法的著作，并被请为此书作序，实乃我一生中的幸事。非常相似的是，我也是在这个年龄发表有关高中生数学课外读物的数学专著，但按学术专著的质量来看，他的著作其难度和深度都写得比我好。真是青出于蓝而胜于蓝。在此，我祝贺肖恩利新著出版，并以此为新起点，不断有创新教学成果，不断有新著作问世。 汪杰良 2017年3月于复旦附中 （汪杰良，复旦附中数学教师，中学高级教师，中国数学奥林匹克高级教练，中国数学会会员。曾任南京市中学数学教学研究会常务理事、南京市初等数学研究课题组组长、上海市数学会理事、上海市中学数学教学研究会常务委员。） 前言 有人说，数学教师的三项基本功是解题、上课、写论文，此言不虚，每一位奋战在教学第一线的教师都对这种说法有深刻的感受。自从踏上工作岗位的第一天起，数学教师几乎天天都在与题目打交道，积累了不少的解题资料，也肯定产生过不少的火花。那么，是让这些火花渐渐熄灭，还是让它越烧越旺，进而能开辟一小片自己的研究领域？我的选择是第二种。在多年的教学和解题经历中，我养成了记录思考引申溯源的习惯： 记录将自己在教学和解题过程中遇到的好问题、好方法记录下来； 思考将自己收集的问题反复研读、反复琢磨； 引申从不同角度研究问题，设法找到问题、方法之间的联系； 溯源从数学历史、数学名题、数学名著中寻找问题来源，寻找灵感，从初等数学与高等数学的关联中寻找思路和解决方法。 到今天为止，解题是我每天都要进行的思维活动，不仅活跃了我的思维，提升了我的研究能力，也让我在教学实践和解题实践中找到了快乐，找到了成就感。虽然离开辟自己的研究领域还有一段距离，但我始终相信，坚持下去，终有收获！ 本书收录的是我和我的同事们在平时教学和解题中的一些思考，既有对解题方法的探讨，如一个射影面积的向量化处理和对一个分段递推数列周期性的研究，也有对数学原理的思考，如球和圆柱侧面可展性的一个证明和从arctan12 arctan13=4到高斯整数 等，并从中提炼了一些进行初等数学研究的主要方法，如信息技术的使用、一些重要的思想方法等。当然，这些方法并没有包含进行初等数学研究的所有方法，并且在进行初等数学研究的时候，方法的使用并没有明显的界限，初等数学研究往往是对研究者的知识、技能和意志力等全方位的考验，因此，本书的写作目的并不在于方法的罗列和划分，而是提出这样一个问题：怎样让数学的教与学成为一个整体？这应该就是我不断努力追求的目标和方向吧。 在此，特别感谢李秋明老师和汪杰良老师给我的鼓励、支持和帮助，也感谢他们为本书作序。 限于学识和能力，本书尚有不足之处，敬请指正！ 笔者 2017年3月

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