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| 內容試閱：
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初中数学胡兴虎分类题典7年级下册（RJ版）
第五章相交线与平行线 第五章相交线与平行线
第1节两条直线的位置关系
第1类对顶角的概念与性质
1.对顶角的定义
一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角.
如图中的∠1的两边是∠2的两边的反向延长线，则∠1与∠2互为对顶角.
2.对顶角的性质
对顶角相等.
3.怎样正确判定两个角是对顶角
（1）判定两个角是不是对顶角，首先要看这两个角是不是两条直线相交形成的，其次看它们是不是有公共顶点，有没有公共边，没有公共边的两个角才是对顶角.
（2）对顶角是成对出现的.
（3）对顶角的数量关系：对顶角相等.
例1选择题.
（1）下图中∠1与∠2是对顶角的是（）.
（2）下列说法中，正确的是（）.
A.有公共顶点的角是对顶角
B.相等的角是对顶角
C.对顶角相等
D.不是对顶角的角不相等
解：（1）根据对顶角的定义：
两角是否有公共端点，两边是否互为反向延长线.
∴应选择D.
（2）应选择C.例2探究如下问题：
（1）“两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角叫做对顶角.”这种说法对吗？
（2）“相等的角是对顶角.”这种说法对吗？
解：（1）这种说法是对的.
（2）这种说法是错误的.例3（1）如图所示，OC平分∠AOB，反向延长OC到点D，反向延长OA到点E，∠3=25°，求∠BOE的度数.
（2）如图1所示，两条直线相交于一点，有几对对顶角？如图2所示，三条直线相交于一点，请写出所有的对顶角；如图3所示，n条直线相交于一点，有几对对顶角？
解：（1）∵∠3=25°（已知），
又∵∠3=∠2（对顶角相等）.
∴∠2=25°（等量代换）.
且∵OC平分∠AOB（已知），
∴∠1=∠2（平分线的定义）.
∴∠1=∠2=25°（等量代换）.
∴∠AOB=∠1+∠2=25°+25°=50°.
而∠BOE+∠AOB=180°（平角的定义），
∴∠BOE=180°-∠AOB
=180°-50°
=130°.
故，∠BOE的度数是130°.
（2）由图1可知两条直线相交于一点，有2对对顶角.
如图2中，三条直线相交于一点，有∠AOB和∠DOE，∠AOC和∠DOF，∠BOC和∠EOF，∠BOD和∠EOA，∠COD和∠FOA，∠COE和∠FOB，共6对对顶角.
根据①②观察的规律可知：n条直线相交于一点，有nn-1对对顶角.
第2类相交线、平行线的概念类
1.相交线、平行线的概念
在同一平面内，若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
2.怎样正确理解相交线、平行线的概念
（1）在同一平面内；
（2）两条直线相交一定只有一个公共点；
（3）平行线是指两条直线，而不是两条线段或射线.
例1下列说法正确的是（）.
A.两条直线不平行就相交
B.在同一平面内，两条直线没有公共点，那么这两条直线平行
C.铁路的轨迹线一定是不平行的
D.在同一平面内的两条射线不平行就相交
分析本题主要考查了同一平面内，两条直线的位置关系.
解：A.∵缺少条件“在同一平面”，∴A错误；
B.∵在同一平面内，两条直线的位置是平行或相交，∴B正确；
C.∵铁路的轨迹线是平行的，∴C错误；
D.∵射线不平行也不一定相交，∴D错误.
综上，应选择B.例2在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（）.
A.平行B.相交
C.平行或相交D.平行、相交或垂直
解：∵在同一平面内，两条直线的位置关系是平行或相交，∴应选择C.
注意：垂直是相交的一种特殊情况，不能单独作为一类.例3下列说法中，正确的有（）.
（1）在同一平面内不相交的两条线段必平行；
（2）在同一平面内不相交的两条直线必平行；
（3）在同一平面内不平行的两条线段必相交；
（4）在同一平面内不平行的两条直线必相交.
A.1个B.2个C.3个D.4个
解：（1）∵在同一平面内不相交的两条线段也不一定平行，∴（1）错误；
（2）∵在同一平面内，两条直线的位置关系是平行或相交，∴（2）正确；
（3）∵在同一平面内不平行的两条线段也不一定相交，∴（3）错误；
（4）同（2），∴（4）正确.
综上，应选择B.
第3类余角、补角的概念与性质类
1.余角的定义
如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，简称互余.其中一个角叫做另一个角的余角.
2.怎样正确理解余角的定义
（1）如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角.反之，如果两个角互为余角，那么这两个角的和为90°.
（2）互余的两个角只与其大小有关，而与它们的位置无关.
3.余角的性质
同角和等角的余角相等.
4.补角的定义
如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，简称互补.其中一个角叫做另一个角的补角.
5.怎样正确理解补角的定义
（1）如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角.反之，如果两个角互为补角，那么这两个角的和为180°.
（2）互补的两个角只与其大小有关，与它们的位置无关.
6.补角的性质
同等或等角的补角相等.
例1选择题.
（1）下列说法中正确的是（）.
A.一个锐角的余角比这个角的补角少90°
B.如果一个角有补角，那么这个角必是钝角
C.如果∠1+∠2+∠3=180°，那么∠1，∠2，∠3互补
D.如果∠α和∠β互为余角，∠β与∠γ互为余角，那么∠α与∠γ也互为余角
（2）下列叙述正确的是（）.
A.一个钝角和一个锐角一定互补
B.一个角的补角必是钝角
C.直角没有补角
D.如果∠MON=180°，那么M，O，N三点在同一条直线上
（3）若互补的两个角有一条公共边，则这两个角的平分线所形成的角（）.
A.一定是直角
B.一定是锐角
C.一定是钝角
D.是直角或者是锐角
（4）下列说法不正确的是（）.
A.钝角没有余角，但一定有补角
B.两个角相等且互补，则它们都是直角
C.锐角的补角比该锐角的余角大
D.一个锐角的余角一定比这个锐角大
解：（1）A.∵这个锐角+它的余角=90°，
∴它的余角=90°-这个锐角.
又∵这个锐角+它的补角=180°，
∴它的补角=180°-这个锐角.
且∵它的补角-它的余角=180°-这个锐角-（90°-这个锐角）
=180°-90°
=90°，
∴A正确；
B.∵一个角+它的补角=180°，
∴这个角可能是锐角，也可能是直角或钝角.
∴B错误；
C.∵互余和互补说的是两个角之间的大小关系，
∴C错误；
D.∵∠α+∠β=90°，∠β+∠γ=90°，
∴∠α=∠γ.∴D错误.
综上，应选择A.
（2）∵两个角是否互补，只需看两个角的和是不是180°，
∴A、B、C都是错误的；
D.∵180°的角是平角，∴D正确.
综上，应选择D.
（3）∵互补的两个角的和是180°，
又∵互补的两个角有一条公共边，
∴这两个角的平分线所形成的角一定是直角.
∴应选择A.
（4）A.设一个角为α，则其余角为90°-α，补角为180°-α.
当α为钝角时，90°-α0°，
∴其余角不存在.但补角一定存在.
∴A正确；
B.当α=180°-α时，α=90°.
∴B正确；
C.当α为锐角时，其补角为：
180°-α90°90°-α.
∴C正确；
D.∵30°与60°互余，但60°的余角小于60°，
∴D错误.
综上，应选择D.例2选择题.
（1）如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，且∠BOD=88°，∠COE=43°，则∠AOF=（）.
A.45°B.47°
C.49°D.88°
（2）若∠α=30°，则∠α的余角的补角是（）
A.30°B.60°
C.120°D.150°
（3）若一个角的补角是这个角的余角的4倍，则这个角是（）.
A.30°B.45°
C.60°D.75°
（4）如图，∠1∠2，那么∠2与12（∠1-∠2）之间的关系是（）.
A.互余B.互补
C.和为45°D.和为22.5°
解：（1）∵∠BOD=88°（已知），
又∵∠DOF=∠COE=43°（对顶角相等），
∴∠AOF=180°-∠BOD-∠DOF
=180°-88°-43°
=49°.
故，应选择C.
（2）∵∠α=30°，
∴∠α的余角=90°-30°.
∴∠α的余角的补角为：
180°-90°-30°
=180°-60°
=120°.
故，应选择C.
（3）设这个角为α，则补角为180°-α，余角为90°-α.
依题意，得
180°-α=490°-α.
解之，得α=60°.
∴应选择C.
（4）∵∠1+∠2=180°，
∴∠1+∠2-2∠2=180°-2∠2.
即，∠1-∠2=180°-2∠2.
∴12（∠1-∠2）=12（180°-2∠2）.
∴12∠1-∠2=90°-∠2.
又∵∠2+12∠1-∠2=∠2+（90°-∠2）
=∠2+90°-∠2
=90°,
∴∠2与12（∠1-∠2）互余.
故，应选择A.例3选择题.
（1）如图1所示，AB，CD相交于点O，OE⊥AB，那么下列结论错误的是（）.
A.∠AOC与∠COE互为余角
B.∠BOD与∠COE互为余角
C.∠COE与∠BOE互为补角
D.∠AOC与∠BOD是对顶角
图1图2
（2）如图2，是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是横板AB的中点，AB可以绕着点O上下转动，当A端落地时，∠OAC=20°，横板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是（）.
A.80°B.60°
C.40°D.20°
（3）如图3，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70°，则∠BOD的度数等于（）.
A.30°B.35°
C.20°D.40°
图3图4
（4）如图4，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1=15°30′，则下列结论不正确的是（）.
A.∠2=45°
B.∠1=∠3
C.∠AOD与∠1互为补角
D.∠1的余角等于75°30′
解：（1）A.由图知，∠AOC+∠COE=90°，
∴∠AOC与∠COE互为余角.
∴A正确；
B.由对顶角的性质知，∠AOC=∠BOD.
∴∠BOD+∠COE=90°，
∴∠BOD与∠COE互为余角.
∴B正确；
C.∵∠COE+∠BOE90°,
∴C错误；
D.由对顶角的定义知，∠AOC与∠BOD是对顶角.
∴D正确.
综上，应选择C.
（2）依题意，知∠OAC=20°.
由OC⊥地面，得∠OAC与∠AOC互余.
∴∠AOC=90°-20°=70°.
同理，可得∠B′OC=70°.
即∠B′OA=140°.
又∵∠B′OA与∠A′OA互补，
∴∠A′OA=180°-140°=40°.
故，应选择C.
（3）∵OA平分∠EOC，
又∵∠EOC=70°，
∴∠AOC=12∠EOC=12×70°=35°.
又∵∠BOD与∠AOC是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC.
∴∠BOD=35°.
故，应选择B.
（4）A.∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°.
又∵OF平分∠AOE，
∴∠2=12∠AOE=45°.
∴A正确；
B.∵AB、CD相交于点O，
∴∠1=∠3.∴B正确；
C.∵∠AOD=+∠1=180°，
∴∠AOD与∠1互补.∴C正确；
D.∵∠1=15°30′，
∴∠1的余角为：90°-15°30′=74°30′.
∴D不正确.
综上，应选择D.
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