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| 編輯推薦： |
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《分数阶算子与灰色预测模型研究》可作为理工类、经管类研究生学习预测方法与灰色系统理论的教材, 也可供科研机构、高等院校等单位的科研技术人员参考。
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| 內容簡介： |
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针对现有灰色预测模型主要以一阶累加生成序列为建模序列, 再一阶累减还原得到原始序列预测值, 《分数阶算子与灰色预测模型研究》重点研究基于分数阶算子的灰色预测模型。在一阶累加生成算子与一阶累减生成算子基础上推导出分数阶累加生成算子与分数阶累减生成算子的解析表达式, 分数阶累加生成算子与分数阶累减生成算子满足交换律、指数律与互逆性。建立了分数阶算子GM1,1模型与分数阶算子离散GM1,1模型, 给出阶数优化算法。通过数值模拟方式研究了两分数阶算子灰色预测模型的适用范围。
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| 目錄：
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目录
第1章导论1
1.1分数阶算子灰色预测模型产生背景1
1.2分数阶算子灰色预测模型相关理论成果2
1.3主要研究内容与体系结构9
1.4本章小结11
第2章灰色累加生成算子拓展及性质12
2.1灰色累加生成算子拓展12
2.2分数阶累加生成算子性质18
2.3分数阶累加生成算子算例25
2.4分数阶累加生成算子Matlab程序32
2.5本章小结34
第3章灰色累减生成算子拓展及性质35
3.1灰色累减生成算子拓展35
3.2分数阶累减生成算子性质43
3.3分数阶累减生成算子算例51
3.4分数阶累减生成算子Matlab程序56
3.5本章小结58
第4章基于分数阶拓展算子的灰色预测模型59
4.1基于分数阶拓展算子的GM1，1模型59
4.2基于分数阶拓展算子的离散GM1，1模型78
4.3本章小结92
第5章基于分数阶拓展算子的灰色预测模型适用范围93
5.1实验数据序列94
5.2基于分数阶拓展算子的GM1，1模型适用范围102
5.3基于分数阶拓展算子的离散GM1，1模型适用范围112
5.4本章小结122
第6章灰色预测模型与Matlab程序123
6.1灰色序列生成123
6.2灰色预测模型133
参考文献154
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| 內容試閱：
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第1章导论
1.1分数阶算子灰色预测模型产生背景
在对系统的研究中，由于内外扰动的存在与认知水平的局限，人们所得到的信息往往带有某种不确定性\[1，2\]。随着人们对各类系统不确定性的认识逐步深化，涌现出一大批不确定性系统研究理论与方法，如概率论、模糊数学\[3\]、粗糙集理论\[4\]、灰色系统理论\[5\]与未确知数学\[6\]等，丰富与发展了不确定性系统研究理论。
1981年中国学者邓聚龙教授在上海召开的中美控制系统学术会议上作了《含未知参数系统的控制问题》的学术报告，首次使用“灰色系统”一词，并论述了状态通道中含有灰色元的控制问题。1982年，北荷兰出版公司出版的国际学术期刊Systems Control Letters发表了**篇英文灰色系统论文Control problems of grey systems，《华中工学院学报》发表了**篇中文灰色系统论文《灰色控制系统》，两篇开创性论文的公开发表，正式标志着灰色系统理论这一新兴学科的问世\[5，7\]。随后，邓聚龙教授、陈绵云教授等灰色系统理论的开拓者发表了多篇学术论文，初步奠定了灰色系统理论框架\[8～12\]。灰色系统理论主要研究“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”“贫信息”的不确定性系统，通过对“部分”已知信息的生成与开发，提取有价值的信息来研究系统\[1\]。受认知限制，“小样本”“贫信息”广泛存在，这为灰色系统理论提供了广泛的应用空间\[13～16\]。
灰色系统理论自创立以来，在灰数运算、序列算子、灰色聚类、灰色关联、灰色预测、灰色决策、灰色博弈、灰色控制等领域取得了丰硕的研究成果\[17\]。灰色预测模型是灰色系统理论*重要的组成部分之一，在经典GM1，1模型基础上拓展出离散GM1，1模型、GM1，N模型、GM0，N模型、Verhulst模型、GM1，1幂模型、GMn，h模型等，形成灰色预测模型群。围绕这些灰色预测模型，研究人员在建模方法、模型优化、模型应用等领域取得了丰硕的研究成果，充分体现出灰色系统理论的理论价值与实践应用价值。
现有灰色预测模型主要基于一阶累加生成序列建模，再一阶累减还原得到预测值。而基于分数阶累加生成算子与分数阶累减生成算子的灰色预测模型的研究还较少。在0阶与整数阶之间必然还存在分数阶，通过分数阶可以精确调节累加数之间的数量级。本书重点将一阶累加生成算子拓展为分数阶累加生成算子，将一阶累减生成算子拓展为分数阶累减生成算子。在分数阶累加生成算子与分数阶累减生成算子基础上建立分数阶算子灰色预测模型，不再仅仅将一阶累加生成序列作为建模序列，而是通过对累加生成算子的阶数进行调节，通过调节阶数生成目标序列，以提高灰色预测模型的拟合精度。本书能拓展灰色序列生成算子理论与灰色预测模型建模方法，对丰富灰色预测模型理论研究成果与拓宽灰色预测模型的应用领域具有重要的理论价值与现实意义。
1.2分数阶算子灰色预测模型相关理论成果
灰色预测模型是灰色系统理论的*重要组成部分。经过二十多年的发展，已经在农业、工业、社会、经济、交通、能源、医疗等众多领域得到了广泛应用，成功地解决了生产、科研、管理中的大量现实问题\[13，17\]。灰色预测模型在成功解决大量实际应用问题的同时，模型也由原始的GM1，1模型扩展出GMn，h模型、离散GMn，h模型等系列模型群，并针对各具体模型做了大量优化研究与应用研究工作，有效提高了预测精度并取得了大量实际应用成果。预测类型也拓展到数列预测、区间预测、灰色灾变预测、波形预测、系统预测等\[1\]。
1.2.1灰色序列生成
灰色系统是通过对原始数据的挖掘、整理来寻求其变化规律，就数据寻找数据现实规律的途径称为灰色序列生成\[1\]。灰色序列生成可弱化表象复杂、数据离散的客观系统的随机性，挖掘出其蕴涵的内在规律，在灰色系统理论中占有极其重要的地位\[1\]。
1.灰色缓冲算子
刘思峰教授首次提出“缓冲算子”概念，建立了缓冲算子公理系统，即不动点公理、信息充分利用公理，以及解析化、规范化公理\[18\]。党耀国、谢乃明、关叶青、崔杰、王正新、吴正朋、魏勇等研究人员构造出几何平均、加权平均、加权几何平均、变权等弱化缓冲算子\[19～24\]与基于不动点、变权、反向累积等强化缓冲算子\[25～36\]，并深入研究了缓冲算子的相关性质\[37～39\]。
2.灰色累加与累减生成算子
邓聚龙教授将信息处理的累加与累减方法作为本征性灰色系统的主要方法\[8\]，证明了非负光滑离散函数累加生成后具有近似的指数规律，即灰指数规律，为灰色预测建模的优化信息处理提供理论基础\[40\]。王清印研究了离散函数曲线的凹向概念及其判定定理，认为一切正离散函数经过一定阶次的累加生成后必然呈现指数规律\[41\]。陈俊珍通过研究认为，累加生成并不能得到“规律性强化”的数列，也不一定能因为生成数列的“随机性弱化”给结果带来好处\[42\]。宋中民等对累加生成定义进行拓展，给出累加生成空间并定义IMindirect model，即间接模型\[43\]，宋中民和肖新平共同提出反向累加生成算法\[44\]。戴文战提出n次累加生成算子，结合残差优化，可提高GM1，1模型的精度，特别适用于数据波动“无序”且随机性强的系统的建模\[45\]。马永胜和戴有忠针对累加生成造成数据生长速度快这一特征，提出折减系数终点生成法\[46\]。何雄君等提出基于向后差商的累加、累减生成算法\[47\]。杨保华和张忠泉提出倒数累加生成算子\[48\]。陈超英提出卷积变换累加生成算子\[49\]。黄继和种晓丽基于矩阵理论建立了广义累加生成算子\[50\]。钱吴永等提出加权累加生成算子\[51\]。
Liu等利用分数阶泰勒展开式定义分数阶累加算子\[52\]; 吴利丰等使用二项式系数定义了分数阶累积算子，表示如下：
xrk=∑ki=1k－i+r－1k－ix0i
通过定义
αrX0=α1X1－r，r∈0，1］
即先求X0的1－r阶累加生成序列X1－r，再求X1－r的1阶累减生成序列，得到r阶累减生成序列X－r\[53～59\]。文献\[53\]指出分数阶累减生成序列的误差受分数阶累加生成算子阶数的影响。
肖新平等利用二次项系数与阶乘形式定义了分数阶累加生成算子矩阵
Ar=arijn×n
其中，
arijn×n=Cr－1i－j+r－1=i－j+r－1!r－1!i－j!，0，i≥jij
再通过逆矩阵方式ArA-r=E得到分数阶累减生成序列\[60，61\]。
1.2.2灰色预测模型群
自邓聚龙教授于1984年首次提出GM1，1模型\[12\]以来，灰色预测模型一直是灰色系统理论研究领域的热点。陈绵云、刘思峰、李宝林、宋中民、王义闹、谢乃明、王正新、崔杰等研究人员以经典GM1，1模型为基础，将单序列拓展到多序列，将一阶拓展到多阶，形成以GMn，h模型为主要类型的灰色预测模型，包括灰色离散模型\[62\]、系统云SCGM1，h_c模型\[63～65\]、GM2，1模型\[66～72\]、GM1，2模型\[73，74\]、GM1，N模型\[75～77\]、GMn，h模型\[78～80\]、多变量灰色MGM1，N模型\[81，82\]、Verhulst模型\[83～86\]、离散GM1，1模型\[87～92\]、GM1，1幂模型\[93～99\]等，形成灰色预测模型群，在实践中取得良好的应用效果，有效拓宽了灰色预测模型的应用范围。
1.2.3GM1，1模型优化
1.建模数据预处理
为提高模型的拟合精度，针对模型特点对数据进行预处理，主要包括提高光滑性，对数据进行各类变换等方式。邓聚龙教授论证了非负光滑离散函数累加生成后具有近似的指数规律，建模序列满足灰指数规律是灰色系统建模的理论基础\[40\]，一般情况下，经典GM1，1模型以一阶累加生成序列作为建模序列。但在实际应用中，并非所有数据序列经过一阶累加生成都会满足灰指数规律，有些原始数据本身就已经满足灰指数规律。根据实际应用背景，王义闹、穆勇、曾波、崔杰等研究人员提出了直接建模方法\[100～105\]，使用对数函数\[106\]、幂函数\[107，108\]、余切三角函数\[109\]、卷积变换\[49\]、缓冲算子\[30，110，111\]、振幅压缩\[112\]等方式对原始数据序列进行变换以提高光滑度并研究光滑性条件\[113\]，以及用序列算子与影响因子来对原始序列数据进行预处理\[114\]，利用直线插值、三次样条插值、BP神经网络等方法将不等时距序列转化为等时距序列\[115\]，将振荡序列加速平移变换后再进行加权均值生成变换\[116\]，根据信息优先原理进行加权累加生成\[114\]，对原始序列进行分数阶累加生成变换\[52～61\]等数据变换方法。
2.建模方法优化
主要包括置零建模法、中心逼近法、分离建模法等模型结构优化方法，新陈代谢法、残差修正法、完全信息利用等信息利用优化方法，灰导数、背景值、初始值、时间响应函数等参数优化方法，以及各类组合优化方法，通过优化，有效提高了模型拟合精度，扩大了模型适用范围。凌迎春提出置零建模方法，可使n维非负序列预测所需的观测数据个数从n个减少为n-1个\[117\]。宋中民等根据灰色GM1，1模型的建模机理，给出了处理导数信息即背景值的新方法，提出中心逼近式灰色GM1，1模型\[118\]。宋中民和张曙红给出了平移算子与数据序列函数的定义，并在此基础上提出灰色系统的分离建模方法\[119\]。姚天祥等研究了新信息离散GM1，1模型的参数特性及对等比序列的拟合性质，提出了分段修正新信息离散GM1，1模型，并对其建模机理进行研究\[120\]。张曙红等证明了GM1，1模型的还原数据模型与原始序列的**点无关，在此基础上提出了一种可以完全利用全部已知信息的GM1，1建模方法\[121\]。袁景凌等建立了GM1，1新陈代谢模型，该模型可动态选择**初始条件及相应辨识参数\[122\]。姜忠军应用灰色GM1，1模型及残差修正技术预测某县土地资源生产潜力及在不同生活水准上对人口承载力适宜强度\[123\]; 李希灿和李丽提出了时序残差GM1，1建模\[124\]; 高曙建立了基于残差变化趋势的GM1，1修正模型\[125\]。刘斌等利用“*小二乘法”确定了GM1，1白化权函数的时间响应函数中的常数c，构建了时间响应函数的优化模型，表明各项指标均优于传统的GM1，1模型\[126，127\]; 崔立志等以序列间距为乘子，建立了非等间距GM1，1模型，根据一次累加序列的观测值与模拟值的残差平方和*小的条件，构建了非等间距GM1，1模型的时间响应函数的优化模型\[128\]; 费忠华等分析了GM1，1预测模型存在的理论缺陷与禁区，指出在形成预测模型时规定x11为已知条件是不合理的，应根据实际情况选用其他数据，并构建了基于时间响应函数的优化模型，按照变化系数阈值，界定了优化模型的有效区\[129\]。谭冠军连续发表三篇论文，研究GM1，1模型的背景值构造方法及其对预测精度的影响\[130～132\]。张大海等认为GM1，1预测模型在形成预测公式时规定x11为已知条件是不合理的，应当根据实际情况选用其他数据，对原公式进行修正与拓展，提出新的预测公式\[133\]。党耀国等针对GM模型都是以序列的**个数据作为初始条件，不满足新信息优先原理，提出将第n个数据作为灰色微分模型的初始条件建立GM1，1模型\[134～136\]。姚天祥等研究了离散GM1，1
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