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| 編輯推薦： |
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《Sturm-Liouville问题及其逆问题》可供基础数学和应用数学及相关专业的研究生、教师和科研人员阅读参考, 也可供高等院校数学专业本科生阅读.
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| 內容簡介： |
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《Sturm-Liouville问题及其逆问题》介绍Sturm-Liouville问题诱导出的常微分算子即Sturm-ouville算子, 以及其谱的定性和定量分析？特征函数系的完备性？按特征函数展开？特征函数的振动性, 以及Sturm-Liouville逆问题,包括Ambarzumian定理？Borg-Levinson定理？半逆谱问题？确定势函数的封闭性条件？逆谱数据问题？逆节点问题及势函数的重构. 此外, 《Sturm-Liouville问题及其逆问题》还简单介绍Jacobi矩阵即离散化的Sturm-Liouville问题 的特征值与逆问题等.
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| 目錄：
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目录
第1章Sturm-Liouville问题的物理背景1
1.1有限长均匀细管的热传导问题1
1.2非均匀弦的自由振动问题4
1.3杆的轴向振动与扭转振动问题6
1.4微博传输问题9
1.5一维定态Schr6dinger方程11
1.6KdV方程的Lax对12
第2章Sturm-Liouville问题14
2.1Sturm-Liouville算子及其特征值的定性分析14
2.1.1Sturm-Liouville算子与Liouville变换14
2.1.2Sturm-Liouville算子的特征函数与广义特征函数17
2.1.3Sturm-Liouville算子特征值的定性分析23
2.1.4预解式与Green函数27
2.2Sturm-Liouville算子特征值的定量分析31
2.2.1基本解的积分方程表达形式31
2.2.2基本解的变换算子表达形式32
2.2.3基本解和m-函数的渐近式45
2.2.4特征值的定量分析50
2.2.5特征值？对应特征函数及规范常数的渐近式55
2.3特征函数系的完备性与特征展开62
2.4特征值的交错性与特征函数的振动性65
2.4.1特征值的交错性65
2.4.2特征函数的振动性66
2.4.3与直和问题特征值的交错性72
第3章Sturm-Liouville逆问题78
3.1基本78
3.2**性的基本定理79
3.2.1Ambarzumian定理79
3.2.2整函数HA80
3.2.3Borg-Levinson定理86
3.3部分区间上的**性89
3.3.1半逆谱问题89
3.3.2部分谱逆问题90
3.3.3具有相同下标的逆特征值问题99
3.4确定势函数的封闭性条件100
3.4.1封闭性充分条件100
3.4.2封闭性条件的应用104
3.4.3封闭性必要条件108
3.5直和空间上的逆谱问题116
3.6缺少有限个特征值时势函数的差异121
3.7逆谱数据问题和逆结点问题136
3.7.1逆谱数据问题136
3.7.2逆结点问题137
3.8势函数的重构139
3.8.1Gelfand-Levitan方程139
3.8.2由谱数据重构Sturm-Liouville问题147
3.8.3由两组谱重构Sturm-Liouville问题148
第4章离散Sturm-Liouville问题及逆问题150
4.1Jacobi矩阵150
4.1.1Sturm-Liouville问题的离散化150
4.1.2简单振动系统151
4.2Jacobi矩阵的特征值问题153
4.2.1Jacobi矩阵特征值的性质153
4.2.2Jacobi矩阵特征向量的变号数155
4.2.3Jacobi矩阵的m-函数158
4.2.4Jacobi矩阵特征值对元素的连续依赖性162
4.2.5与Sturm-Liouville算子的比较164
4.3Jacobi矩阵的逆问题164
4.3.1两组谱的逆特征值问题165
4.3.2广对称情形的逆特征值问题169
4.3.3Jacobi矩阵的逆谱数据问题173
4.3.4Jacobi矩阵的半逆特征值问题178
4.3.5**和*小特征值的逆问题180
4.3.6关于Jacobi矩阵逆特征值问题的小结与猜想182
4.4逆问题的算子描述183
参考文献186
附录A复分析196
A.1整函数的阶196
A.2Phragmen-Lindelof定理197
A.3积？199
A.4Hadamard因子分解定理201
A.5Mittag-Leffler展式209
A.6指数函数系的封闭性211
A.6.1Jensen公式212
A.6.2指数函数系封闭的充分条件213
A.7Herglotz函数215
附录B双曲微分方程220
索引224
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| 內容試閱：
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第1章 Sturm-Liouville问题的物理背景
经典Sturm-Liouville问题（简称S-L问题）的一般形式
其中，首项系数（the first coefficient px，势函数potential qx和权函数都是区间[a，b]上的实值函数，几乎处处为正.
边条件分别表示分别称为在端点a和&处满足Dirichlet边条件；称为Neumann边条件.
使S-L问题存在非平凡解的A e C称为S-L问题的特征值 eigenvalue，对应的非平凡解称为对应于A的特征函数（也称为特征向量，eigen？function .
S-L问题起源于19世纪初求解固体热传导模型的Fourier方法，C. Sturm和 J. Liouville将J. Fourier的方法进行推广，形成了 S-L问题理论.它是解决振动方 程、波动方程和热传导方程等数学物理方程定解问题的基础.为便于读者了解S-L问题的具体应用，这里对它的若干物理背景做一简述.
1.1有限长均匀细管的热传导问题
设有一段有限长的绝热细管放置在x轴上，两端点坐标分别为a和6 6 a. 在x处，记其截面积为处，密度分布为p⑷，其热传导率为fc㈦，其比热（即单 位质量的物体升高单位温度所需吸收的热量）为令t时刻x点处截面上的温度为时温度分布为且设管中无热源.
考虑从a;到z + dbr的微元（图1.1.1，由Fourier传热定律：热流流速单位时间内流过单位面积的热量，与温度的梯度成正比，比例常数k0称为热传导 率，故t时刻到时间段内从左到右流过o:点截面的热量为
其中负号“-”表示热流方向与温度的梯度方向相反，即若0，则热流的 实际方向是从右向左.
图1.1.1细杆热流传导示意图
类似地，单位时间内从左到右流过点截面的热量为
由热量守恒定律，并注意到管的侧面绝热且杆中无热源，则有“微元升温所需 热量=流过两个截面后留下的热量”，即
因此幻满足方程
不妨假设外界环境的温度为0 如果外界温度为T，那么以= ux，t-T 代替ux，t即可.根据热传导的Newton定律，端点处的散热量与端点处和外界的 温差成正比（该比例系数称为热交换系数，以及热量守恒定律，即端点处流出到外 界的热量与管内流向该端点的热量相等，结合流过截面的热量公式（1.1.1即得其中常数h， H分别为在两端管内外介质间的热交换系数（由于在a端散热方向是 从右向左，所以a点的边界条件1.1.3左端取正号.
特别地，若端点处也绝热，则边界条件为= 0，= 0，即为边界
条件1.1.4当^ F = 0的特殊情形;若端点处的温度始终保持与外界相同，则
用分离变量法求解方程（1.1.2.令= e_A a， 设其线密度函数为切Or，张力为rx.假设振动过程中没有外界作用力，且设弦仅 在垂直于x轴的方向做微小振动（也称为横向振动，用表示t时刻x点偏 离0；轴的位移.
考虑从x到的微兀（图1.2.1，端点x和x + dx的张力的水平分量相 等，以保持弦在平行于x轴的方向没有位移.由于振动微小，故弦的切线的倾角ai 和哟都很接近于0.因此工点张力在垂直方向的分量为
其中负号表示该点张力的方向与切线方向相反.x + dx点张力在垂直方向的分量为
这两个分力的合力引起该微元段的振动，由Newton第二定律可得
即得弦振动的机械运动方程边界条件显然是
由于两端固定，所以振动方程1.2.2的解可以看成正波和反波形成的驻波
公式中符号“”的含义是“将A定义为B”或“用A表示B” 代入振 动方程1.2.2可得
上式左边仅依赖于t，而右边只依赖于坐标X，所以它一定等于一个常量，记为-A， 这样得到+的S-L特征值问题
再由边界条件1.2.3可得同样可证S-L问题（1.2.5-1.2.6有可数个单重的实特征值记对应于每一个特征值K的特征函数为同时令S-L问题对应于A？的解为
其中An和Bn是待定系数.于是= pnt vnx是方程1.2.2满足边界条件1.2.3的特解.再由叠加原理知，级数还是方程（1.2.2满足边界条件（1.2.3的解.代入初始条件（1.2.4即有
因而求解振动系统（1.2.2-1.2.4的解就转化成求解S-L问题（1.2.5-1.2.6的特 征值An，对应的特征函数及⑷和s⑷按该特征函数系展开的问题.
对于S-L问题（1_2.5-1.2_6的所有特征值An，称叫为是系统的固 有频率，对应的特征函数WnX称为振型函数，表示弦对应于 固有频率的主振动.
若弦的一端（比如的那端）在垂直于X轴的直线上自由滑动，则由于没 有外界作用力，故该端微元左端在垂直方向上张力的分量为0，因此，根据式1.2.1 就可得到自由边界条件（也称为Neumann边界条件）
此时S-L问题（I.2.5的边界条件1.2.6变成
若弦的一端（比如的那端）固定在z轴上的弹性支承，则弦对支承的拉力在 垂直方向上的分量为由Hooke定律得到边界条件（称为Robin边界 条件）
其中k为支承的弹性系数.此时S-L问题（1.2.5的边界条件1.2.6变成注在右端点，弦对支承的拉力与弦在该点的切线方向相反，所以在垂直方向 上的分量要加符号“一”.
截面不均匀的水道中，根据质量守恒定律和动量方程可得到，沿水道轴向流动 的水的自由面髙度ux，t也满足方程1.2.2.此时系数了⑷=9 S{x，其中 是水道的截面积，g是重力加速度，w{x对应着静止时水道自由面的宽度.利用分 离变量法也可转化为同样的S-L问题.
1.3 杆的轴向振动与扭转振动问题
杆或梁）的轴向振动问题具有相当大的工程意义，如飞机、汽车、火箭等受到
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