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《从数学竞赛到竞赛数学》可作为高中生参加数学竞赛,中学数学教师作数学竞赛辅导、进修,高等师范院校数学教育专业开设竞赛数学课程的教材或教学参考书.数学业余爱好者也可以从本《从数学竞赛到竞赛数学》找到许多新颖有趣的问题和令人耳目一新的巧妙解题方法.冥思苦想的命题者也许可以从《从数学竞赛到竞赛数学》找到灵感,提出更多新问题为竞赛数学注入新的血液
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| 內容簡介： |
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朱华伟著北京《从数学竞赛到竞赛数学》以国际数学奥林匹克及国内外高层次数学竞赛为背景，论述竞赛数学的形成背景，探讨竞赛数学的教育价值，归纳出竞赛数学的基本特征，把竞赛数学涉及的内容归为数列、不等式、多项式、函数方程、平面几何、数论、组合数学、组合几何8节，每一节内容包括背景分析、基本问题、方法技巧、概念定理、经典赛题，试图对数学竞赛所涉及的内容、方法、技巧作一系统总结和界定，并通过典型的赛题进行阐述.注意题目的来源与推广的讨论，重视新问题的收集与传统解法的优化，反映了国内外数学竞赛命题的最新潮流.以此为基础，研究竞赛数学的命题原则及命题方法.
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| 目錄：
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总序第二版前言
第一版前言
第1章 从数学竞赛到竞赛数学
1.1数学竞赛的产生与发展
1.2世界各国数学竞赛概况
1.3数学竞赛在中国
1.4数学竞赛的教育价值
1.5数学竞赛与竞赛数学
1.6竞赛数学的文献分析
第2章 竞赛数学的基本特征
2.1开放性2.2趣味性
2.3新颖性
2.4创造性
2.5研究性
第3章 竞赛数学的问题与方法
3.1数列
3.2不等式
3.3多项式
3.4函数方程
3.5平面几何
3.6数论
3.7组合数学
3.8组合几何
第4章 竞赛数学命题研究
4.1竞赛数学的命题原则4.2竞赛数学的命题方法
4.3案例11992年CMO试题的评价
4.4案例22006年全国高中数学联赛的函数迭代题
4.5案例3Schur不等式及其变式
4.6案例4嵌入不等式
参考文献
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第1章
从数学竞赛到竞赛数学
随着数学竞赛的发展，已逐渐形成了一门特殊的数学学科——竞赛数学，也可称为奥林匹克数学.
——王元
一门数学课程通常形成于某个数学分支，而竞赛数学课程却形成于数学竞赛活动.正如著名数学家王元教授所言：“随着数学竞赛的发展，已逐渐形成一门特殊的数学学科——竞赛数学，也可称为奥林匹克数学”（王元，1990）.因此，我们从数学竞赛活动的产生和发展入手，研究竞赛数学的形成背景.
1.1数学竞赛的产生与发展
古代不朽之神，
美丽、伟大而正直的圣洁之父.
祈求降临尘世以彰显自己，
让受人瞩目的英雄，
在这大地苍穹中，
作为你荣耀的见证.
请照亮跑道、角力与投掷项目，
这些全力以赴的崇高竞赛，
颁赠优胜者常青树编成的花冠，
塑造出钢铁般的躯干.
有如一白色斑斓的岩石造成这巨大的神殿，
世界各地都赶来这神殿，
膜拜你，啊！永不朽古代之神.
这就是举世瞩目的国际奥林匹克运动会会歌.在四年一届的奥运会开幕、闭幕式中，在升、降奥运会会旗的一刻，你都能听到这支优美庄严、激越飞扬的歌曲！
在世界体育史上，奥林匹克运动起源于古希腊的波罗奔尼撒半岛西北部（如今雅典西南360km处）的一座神庙——奥林匹亚，它是关于体能的竞赛.数学奥林匹克与体育奥林匹克类似，指的就是数学竞赛活动.数学竞赛是一项传统的智能竞赛项目，智能和体能都是创造人类文明的必要条件，所以原苏联人首创了“数学奥林匹克”这个名词.
1.1.1溯源——解难题竞赛的来龙去脉
数学是锻炼思维的体操，而其核心则是问题.解数学难题的竞赛和体育奥林匹克一样，有着悠久的历史.古希腊时就有解几何难题的比赛，在我国战国时期则有齐威王与大将田忌赛马的对策故事.在16世纪初期的意大利，不少数学家喜欢提出问题，向其他数学家挑战，以比高低，其中解三次方程比赛的有声有色的叙述，使人记忆犹新.
大约在1515年，波罗尼亚大学数学教授费罗（Ferro）用代数方法解出了形如x3+mx=n类型的三次方程，并把方法秘密传给了他的得意门生菲奥（Fior）.意大利数学家丰坦那（Fontana），出身贫寒，自学成才，由于童年受伤影响了说话能力，人称“塔塔利亚”（Tartaglia，意为口吃者），后以教书为生.大约在1535年他宣布：他发现了三次方程的代数解法.菲奥认为此声明纯系欺骗，向塔塔利亚提出挑战，要求举行一次解三次方程的公开比赛.
1535年2月22日，米兰大教堂里挤满了人，他们不是来做祈祷的，而是来看热闹的，因为塔塔利亚与菲奥的竞赛在此举行.双方各给对方出30道题.为迎接这场挑战，塔塔利亚做了充分准备，他冥思苦想，终于在比赛前10天掌握了三次方程的解法，因而大获全胜.从此，塔塔利亚在米兰名声大振，如日中天.
有“天才怪人”之称的既教数学又行医的数学家卡丹（Cardano）闻知此事后，屡次拜访塔塔利亚，目的是想从他那儿得到求解三次方程的公式.卡丹的虔诚与承诺（发誓保守秘密）使塔塔利亚放松了警惕，终于将公式给了卡丹.1545年，卡丹的《大法》（Ars magna）一书在德国纽伦堡出版，书中刊载了塔塔利亚的三次方程求根公式.卡丹食言，塔塔利亚蒙受欺骗.此后，人们将塔塔利亚发明的公式称作卡丹公式.下面是一元三次方程卡丹公式.
方程x3+px+q=0的三个根分别为
x1=3-q2+Δ+3-q2-Δ，
x2=ω23-q2+Δ+ω3-q2-Δ，
x3=ω3-q2+Δ+ω23-q2-Δ，
其中 Δ=（q2）2+（p3）3，ω=-1+3i2.
一般地，一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0均可通过变换转化为
x3+px+q=0
的形式.意大利数学家发现的三次方程的代数解法被认为是16世纪最壮观的数学成就之一.
顺便指出，一元四次方程的求根公式是由卡丹的学生斐拉里给出的.应强调的是，一般一元五次方程及五次以上的方程没有求根公式，这一点已由阿贝尔和伽罗华证得.
公开的解题竞赛无疑会引起数学家的注意和激发更多人的兴趣，随着学校教育的发展，教育工作者开始考虑在中学生中间举办解数学难题的竞赛，以激发中学生的数学才能和培养其对数学的兴趣.
1.1.2数学竞赛的先导——匈牙利数学竞赛
世界上真正意义上的数学竞赛源于匈牙利.1894年，匈牙利数学界为了纪念著名数学家、匈牙利数学会主席埃特沃斯（Eütvōs）荣任匈牙利教育部长而组织了第一届中学生数学竞赛，这是真正意义上的数学竞赛的开端.本来是叫做Eütvōs竞赛，后来命名为Jószef Kórschak竞赛.
这一活动除两次世界大战和1956年匈牙利事件中断7年外，每年10月举行一次，每次竞赛出三道题，限4h做完，允许使用任何参考书.这些试题难度适中，别具风格，虽然用中学生学过的初等数学知识就可以解答，但是又涉及许多高等数学的课题.中学生通过做这些试题，不但可以检查自己对初等数学掌握的程度，提高灵活运用这些知识以及逻辑思维的能力，还可以接触到一些高等数学的概念和方法，对于以后学习高等数学有很大帮助.
匈牙利数学竞赛试题的上述特点，使得它的命题方向对世界各国数学竞赛，乃至IMO的命题都产生了重大的影响.例如，1974年匈牙利数学竞赛中有一个题目：
【题1.1.1】在任意6个人中，总有3个人相互认识或相互不认识.
此题是组合数学中Ramsey问题的最简单情形，以后几十年中这个题目被许多国家反复改造、变形、推广后用作竞赛试题.比如：
【题1.1.2】（第13届普特南数学竞赛试题）空间中6个点，任意3点不共线，任意4点不共面，成对地连接它们得15条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）.求证：无论如何染，恒存在单色三角形.
【题1.1.3】（第6届IMO试题）有17位科学家，其中每一个人和其余科学家都通信，他们在通信中只讨论3个题目，而且每两个科学家之间只讨论1个题目.求证：至少有3个科学家相互之间只讨论同一个题目.
【题1.1.4】（1970~1976年波兰数学竞赛试题）已知空间中6条直线，其中任何3条不平行，任何3条不交于一点，也不共面.求证：在这6条直线中总可选出3条，其中任2条异面.
【题1.1.5】（1970~1976年波兰数学竞赛试题）平面上有6点，任何3点都是一个不等边三角形的顶点.求证：这些三角形中一个的最短边同时是另一个三角形的最长边.
【题1.1.6】（1976年加拿大数学竞赛试题）连接圆周上9个不同点的36条线段，染成红色或蓝色.假定由9点中每3点所确定的三角形，都至少有一条红色边.证明：存在4点，其中每两点的连线都是红色的.
【题1.1.7】（1988年加拿大数学竞赛试题）有6人聚会，任意2人要么认识，要么不认识.证明：必有两个组，每组3个人，同组的3个人要么彼此认识，要么不认识.
【题1.1.8】（1989年全国初中数学联赛试题）设A1，A2，A3，A4，A5，A6是平面上的6个点，其中任3点不共线.
（1）如果这些点之间任意连接13条线段，证明：必存在4点，它们每两点之间都有线段连接.
（2）如果这些点之间只连12条线段，请你画出一个图形，说明（1）的结论不成立.
【题1.1.9】（第33届IMO试题）给定空间中的9个点，其中任4点都不共面，在每一对点之间都连有一条线段，这些线段可染为蓝色或红色，也可不染色.试求出最小的n值，使得将其中任意n条线段中的每一条任意染为红蓝二色之一.在这n条线段的集合中都必然包含有一个各边同色的三角形.
【题1.1.10】（第29届俄罗斯数学奥林匹克）某国有N个城市.每两个城市之间或者有公路，或者有铁路相连.一个旅行者希望到达每个城市恰好一次，并且最终回到他所出发的城市.证明：该旅行者可以挑选一个城市作为出发点，不但能够实现他的愿望，而且途中至多变换一次交通工具的种类.
又如1961年匈牙利数学竞赛中有一个题目：
【题1.1.11】平面上的4个点可以连接成6条线段.证明：最长线段和最短线段之比不小于2.
此题同样受到各国命题者的青睐，以此为源头产生了一批赛题，比如：
【题1.1.12】（1962年德国IMO试题）证明：任意一个凸四边形的顶点之间的最大距离与最小距离之比至少为2.
【题1.1.13】（1991年澳大利亚IMO试题）设ABCD为凸四边形，AB，AC，BC，BD，CD中最长的为g，最短的为h.证明：g≥2h.
【题1.1.14】（1985年全国高中数学联赛试题）平面上任给5个相异的点，它们之间的最大距离与最小距离之比为λ.求证：λ≥2sin54°，并讨论等号成立的充要条件.
【题1.1.15】（1964年第25届普特南数学竞赛试题，1965~1966年波兰数学竞赛试题，1975年奥地利数学竞赛试题）证明：平面上有6个不同的点，则这些点之间的最大距离与最小距离之比至少为3.
一般地，给定平面上n个点，每两点之间有一个距离，最大距离与最小距离的比记为λn，由上述几题知：λ4≥2，λ5≥2sin54°，λ6≥3.由此归纳猜想：λn≥2sinn-22nπ.这就是著名的Heilbron型猜想.这个猜想已被我国数学工作者解决.
若假定这n点在一条直线上，则有：
【题1.1.16】（1991年湖南省数学奥林匹克夏令营竞赛试题）假定这一条直线上有n个点，则其最大距离与最小距离之比λn≥n（n+1）6.
与距离类似，有人考虑了角度、面积，同样产生了一批问题，见本书3.8节组合几何.
匈牙利数学竞赛已有114年的历史，时值世界各国数学竞赛和IMO蓬勃发展的今天，我们尤为关切地认识到匈牙利数学竞赛在国际数学竞赛史册中占有引人注目的一页.1894~1974年的试题与解答见《匈牙利奥林匹克数学竞赛题解》（库尔沙克等，1979）.英文版的匈牙利数学竞赛试题与解答见Kurschak（1967）和Liu（2001）的著作.
下面是1894年首届匈牙利数学竞赛试题.
1.证明：若x，y为整数，则表达式2x+3y，9x+5y或同时能被17整除或同时不能被17整除.
2.给定一圆和圆内点P，Q，求作圆内接直角三角形，使它的一直角边过点P，另一直角边过点Q.点P，Q在什么位置时，本题无解？
3.三角形的三边构成公差为d的等差数列，又其面积为S.求三角形的三边长和三内角大小，并对d=1，S=6的特殊情形求解.
1.1.3数学竞赛的兴起及其发展
数学竞赛的发展大致可以划分为以下三个阶段.
第一阶段（1894～1933年）：数学竞赛的酝酿和发生时期.
这一阶段是自1894年匈牙利举办数学竞赛之后，罗马尼亚紧跟匈牙利，于1902年开始举办全国性的数学竞赛，在以后的30年中没有其他国家举办过类似的活动.
第二阶段（1934～1958年）：数学竞赛的萌芽和成长时期.
原苏联自1934年列宁格勒（今圣彼得堡）举办数学竞赛开始，1935年莫斯科、第比利斯、基辅等也举办了数学竞赛，并把数学竞赛与体育竞赛相提并论，而且与数学科学的发源地——古希腊联系在一起，称数学竞赛为数学奥林匹克，它形象地揭示了数学竞赛是选手间智力的角逐.
这期间，美国于1938年举办了大学低年级学生参加的普特南数学竞赛（PutnamMC），吸引了美国、加拿大各大学成千上万的大学生参加. ……
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