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《交换代数引论》可作为本科生或研究生的交换代数和代数几何课程的入门教材或参考书?
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| 內容簡介： |
《交换代数引论》在第一版的基础上增加了与代数几何和组合数学相交叉的内容?
《交换代数引论》在本科抽象代数课程的基础上讲述了交换代数的基本的也是重要的 Hilbert 基定理? Hilbert 零点定理?理想的准素分解?相伴素理想?维数?重复度?正则环和正规环等内容? 同时, 对应地讨论了代数集的基本性质?代数集的分解和维数?代数簇的非奇异性和正规性等? 还讨论了组合交换代数的基本内容?
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| 目錄：
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第二版前言
第一版前言
预备知识
习题
第1章 多元多项式环与代数集
1.1 多元多项式环
1.2 代数曲线
1.3 代数集
习题
第2章 Noether环
2.1 Noether模和Artin模的基本性质
2.2 Hilbert基定理
2.3 Hilbert.零点定理
2.4 局部化
习题
第3章 代数集的分解与理想的准素分解
3.1代数集的分解
3.2理想的准素分解
3.3相伴素理想
习题
第4章 维数
4.1 分次环与Hilbert多项式
4.2 代数集的维数
4.3 Noether环的维数
4.4 离散赋值环
习题
第5章 重复度与代数曲线的局部性质
5.1 重复度
5.2 代数曲线的局部环
5.3 代数曲线上的点的奇异性质
习题
第6章 环的正则性与代数簇的非奇异性
6.1 正则序列与深度
6.2 COhen-MaCaulay环
6.3 正则环
6.4 代数簇的非奇异性
习题
第7章 环的整闭性与代数簇的正规性
7.1 整性
7.2 正规环
7.3 代数簇的正规性
习题
第8章 组合交换代数初步
8.1 单项式理想
8.2 单纯复形与无平方单项式理想
8.3 维数与准素分解
8.4 向量与Hilbert级数
8.5 图与交换环
习题
习题解答
参考文献
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| 內容試閱：
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预备知识
下面的抽象代数的基本知识是阅读本书时所必备的.
G称为一个群，如果G是一个非空集合且G上有一个适合结合律的代数运算“ ”满足:G中含有单位元，即存在e2G，使得对任意a2G都有a e=e a=a，而且G中每个元素都有逆元，即对任意a2G，存在b2G，使得a b=b a=e.运算适合交换律的群称为Abel群或交换群，Abel群的运算通常写成加法.群的同态基本定理是一个十分重要的定理.
环R是具有加法“+”和乘法“ ”两个代数运算的一个非空集合且R关于加法“+”构成一个Abel群，乘法“ ”适合结合律且乘法对加法适合分配律.乘法适合交换律的环称为交换环.
设F是一个至少含有两个元素的有单位元的交换环，如果F中的每个非零元都有乘法逆元，则称F为一个域.如果域F没有真正的代数扩域，等价于F上的每个次数大于零的多项式在F中都有一个根，则称F为一个代数闭域.例如，复数域C就是一个代数闭域.
交换代数中所讨论的环都是有单位元的交换环.域F上的一元多项式环F[X]的性质将经常被用到. 模可以看成是环上的向量空间.设R是一个有单位元1的环，M;+是一个Abel群，如果存在一个映射
R*M~M;r;m7~r m;
使得对任意r;s2R，m;m02M都有
1r m+m0=r m+r m0;
2r+s m=r m+s m;
3r s m=rs m;
41 m=m，
则称M为一个R模，有基的模称为自由模.模的同态基本定理同样也是一个十分重要的定理文献[1].
假设R是一个有单位元的交换环.
设I;J是R的理想，令
I:J=fa2RjaJμIg;
则I:J是R的一个理想，称为商理想.容易看出，下列性质成立:
1IμI:J;
2I:J:K=I:JK=I:K:J;
33nTi=1
Ii′:J=nTi=1Ii:J.
注意到，若J只是R的一个子集，则类似地可定义I:J，它也是R的一个理想.记I:fag为I:a.
设S是一个环，当S也是一个R模时，称S为一个R代数.进一步地，如果存在有限多个元素a1; ;an2S，使得对任意a2S都有某个fX1; ;Xn2R[X1; ;Xn]使a=fa1; ;an;则称S为一个有限生成的R代数.注意到，S是一个有限生成的R代数当且仅当有一个下列形式的环满同态:
R[X1; ;Xn]~S:
当R是S的子环时，这也等价于存在a1; ;an2S使得S=R[a1; ;an].设M是一个R模，令AnnRM=fa2RjaM=0g;
对任意m2M，令AnnRm=fa2Rjam=0g;
则AnnRM和AnnRm都是R的理想，分别称为M和m的零化子.
再来讨论R的两个重要的理想||小根和大根，大根也称为Jacobson根.R的下列理想jR称为R的小根:
jR=fa2Rj存在某个n0使得an=0g;
也就是说，小根是由幂零元组成的集合.
命题
jR=\p为R的素理想
证明设p是R的任意一个素理想，则由an=02p，即得a2p，从而jRμp.为证明p为R的素理想pμjR;只需对任意非幂零元a，找出素理想p使得a62p，即对任意n0都有an62p.令S=fIjI为R的理想且对任意n0都有an62:
显然零理想02S，故S非空.容易验证，S关于集合的包含关系所构成的偏序集满足Zorn引理的条件.所以，根据Zorn引理，S含有极大元.设p是S的一个极大元，我们来证明p是R的一个素理想.用反证法，如若不然，则有ˉ62p使2p.于是pp+.;pp+ˉ:
由p的极大性知p+.;p+ˉ62S，故有m;n0使得an2p+.;am2p+ˉ，由此即得an+m2p+.ˉ=p，这与p2S相矛盾.所以p是R的一个素理想.命题得证.
对R的任意理想I，令pI=fa2Rj存在某个n0使得an2Ig;
称为I的根.容易验证pI是R的一个理想且类似于上面的命题，可以证明留作习题:
pI=\p.I为R的素理想p:
R的所有素理想组成的集合记为SpecR，称为R的素谱.
R的所有极大理想的交是R的一个理想，称为R的Jacobson根，记为JR.
注意到，若a2JR，则1.a是R中的可逆元，这是因为，若1.a不可逆，则1.a一定属于某个极大理想m，而a2m，因而12m，矛盾.显然jRμJR.
如果R含有唯一的极大理想m，则称R为局部环，记为R;m，有时也记为R;m;k，其中k=R=m是一个域，称之为R的剩余类域.注意到，若R;m是局部环，则m恰由R的所有非可逆元组成留作习题.
下面的两个称为引理的著名结论是很重要的.
Nakayama引理设M是一个有限生成的R模，I是R的理想.若IμJR使得IM=M，则M=0.
证明设M=m1; ;mn.不妨设m1; ;mn是M的个数最少的生成元组，即极小生成元组.假设M6=0，则n0.由IM=M知mn2IM，于是mn=a1m1+ +anmn;ai2I;i=1; ;n:
从而1.anmn=a1m1+ +an.1mn.1.由于IμJR，故1.an是可逆元，所以mn2m1; ;mn.1，从而M=m1; ;mn.1，这与n的极小性相矛盾.所以M=0.
推论设M是有限生成的R模，IμJR是R的一个理想，N是M的个子模.如果M=IM+N，则M=N.
证明令M=M=N，则由M=IM+N得IM=IM+N=N=M.从而由Nakayama引理得M=0，故M=N.
我们知道，若I1; ;In是R的理想，p是R的素理想使得p.nTi=1Ii，则有p.I1 In，从而存在k使得p.Ik，于是，若p=nTi=1Ii，则存在k使得p=Ik.下面的回避引理可以认为是这一结论的对偶形式.
回避引理设p1; ;pn是R的素理想，I是R的一个理想.如果Iμn[i=1pi;
则存在k使得Iμpk.
证明对n用归纳法.当n=1时，结论显然成立.
假设n1且结论对n.1成立.若存在i1; ;in.12f1;2; ;ng使得Iμn.1Sj=1pij，则由归纳假设即得结论.下面假设对i=1;2; ;n都有I6μSj6=ipj，我们来得出矛盾.取ai2InSj6=ipj，i=1;2; ;n.注意到，由IμnSi=1pi知ai2pi.令a=nXi=1a1 ai.1ai+1 an;则a2I，但是a62nSi=1pi，这是因为对k=1; ;n，由于a1 ak.1ak+1 an62pk，而对i6=k都有a1 ai.1ai+1 an2pk，所以nXi=1a1 ai.1ai+1 an62pk.于是I6μnSi=1pi，矛盾.引理得证.
习题
1.设R;m是一个局部环，证明m恰由R的所有非可逆元组成.
2.设R是有单位元的交换环，假设R的所有非可逆元组成的集合构成R的一个理想，证明R是一个局部环.
3.设I;J是R的理想，证明:
1ppI=pI;
2pIJ=pI\J=pI\pJ;
3pI+J=ppI+pJ.
4.设R是有单位元的交换环，I是R的一个真理想，证明:pI=\p.I为R的素理想p:
5.设p是素理想，证明:对任意n0都有ppn=p.
6.设I是真理想，证明:I=pI当且仅当I是一些素理想的交.
7.证明:代数闭域一定是无限域.
8.设R是有单位元的交换环，R的两个理想I和J称为互素的，如果I+J=R，设I1; ;In是两两互素的理想，证明:I1 In=I1\ \In且有同构R=I1 In.=R=I1* *R=In:
9.设M是一个模，K和N是M的两个子模.假设K+N和K\N都是有限生成的，证明:K和N也是有限生成的.
第1章多元多项式环与代数集
代数曲线是特殊的代数集，而代数集是一些多元多项式的公共零点.在本章中，我们先来讨论多元多项式环和代数集的基本性质.代数曲线或一般的代数集是我们展开的交换代数理论的几何背景.随着后面的交换代数理论的逐步深入，我们对代数曲线及一般的代数集的认识也将进一步深化.
1.1多元多项式环
假设F是一个域，F可以是实数域R，复数域C，也可以是有限域Fq.令F[X1; ;Xn]是F上n个不定元X1; ;Xn的多元多项式环.我们知道，唯一分解整环上的一元多项式环仍是唯一分解整环，由此即得F[X1; ;Xn]是唯一分解整环.从而F[X1; ;Xn]中的任意一个非零多项式fX1; ;Xn都可以分解成一些不可约多项式的乘积的形式:f=cfr11 frss;
其中c2F，f1; ;fs2F[X1; ;Xn]是互不相同的首项系数为1的不可约多项式，r1; ;rs是正整数，而且，这样的表达式在相差f1; ;fs的顺序意义下是唯一确定的.
由于F[X1; ;Xn]是整环，我们可以构作F[X1; ;Xn]的分式域，F[X1; ;
Xn]的分式域记为FX1; ;Xn，于是FX1; ;Xn=.fgjf;g2F[X1; ;Xn];g6=0.:
先来看F[X1; ;Xn]的一些简单性质.
命题1.1对任意fi1; ;irg.f1;2; ;ng，Xi1; ;Xir是F[X1; ;Xn]的素理想.
证明令f1;2; ;ngnfi1; ;irg=fj1; ;jn.rg.由于F[X1; ;Xn]=Xi1; ;Xir.=F[Xj1; ;Xjn.r]是一个整环，所以Xi1; ;Xir是F[X1; ;Xn]的素理想.
……
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