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| 內容簡介： |
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《数学物理趣谈 从无穷小开始》重点介绍了现代物理中常用的一些数学方法，包括微积分、变分法、微分方程、微分几何等领域的基础知识。作者以深入浅出的解释、直观明白的图像、生动有趣的语言，使你初步了解这些基础的数学概念，以及与它们相关的物理应用实例。带领你追溯数学物理的源头，从趣味中体会数学之美，带你进入数学物理及与其发展紧密相关的理论物理的大门。
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| 目錄：
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第1章 无穷小的魔术
1.从微积分说起
2.阿基里斯能追上乌龟吗？
3.谁发明了微积分？
4.《阿基米德羊皮书》
5.阿涅西的女巫
6.“傻博士”相亲
7.图解微积分
第2章 微积分到变分法
1.哪条滑梯最陕？
2.安全抛物线
3.数学家的绝招
4.弦振动问题
5.狄多女王的智慧
6.上帝也懂经济学吗？
7.美丽的对称
8.自发对称破缺
9.费曼的故事
10.沿着历史的路径积分
第3章 微分方程拾趣
1.数学的诗篇
2.微分方程展宏图
3.三体问题
4.奇妙无比的混沌
5.不可思议的分形
7.无穷小量碰到“量子”
8.电磁波的颂歌
第4章 几何上的无穷小
1.既古老又现代的几何学
2.弯路上加速运动的汽车
3.平方反比率
4.曲面的微分几何
5.肥皂膜上的几何
6.内蕴几何
7.黎曼几何
8.张量场上的微积分
9.2维曲面上平行移动和曲率
参考文献
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| 內容試閱：
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第1章 无穷小的魔术
“数学是关于无穷的科学。”——大数学家希尔伯特名言
1. 从微积分说起
有朋友对我说，简单的初等数学永远能记住，因为它对日常生活很有用处，比如算账什么的就需要。至于微积分嘛，早都还给老师去了，因为它与实际生活没有关系啊！微积分与我们日常生活真的无关吗？其实不然，看了下面这几个例子，也许你的看法就不一样了。
你去爬山时一定注意过山坡的形状，有的简单、有的复杂，或高或低、或平或陡。但无论何种形状，山坡的高度总是随着离山脚下出发点的距离而变化的。有的部分很陡，也就是说高度变化得很快；而另一些部分比较平坦，即高度变化得慢，或者几乎不变。如何来描述高度的这种变化呢？快还是慢，陡还是平？我们可以用一个叫“坡度”的数值来表示。坡度定义为高度的增加与你走过的水平距离的比值。比如，如果像图1.1（a）所示的简单形状，用初等数学中的简单几何知识就能描述，不就是几条直线构成的几个三角形和矩形吗？在这种情形下，坡度的计算也很简单，如图中所示，用高度除以距离即可得到。图1.1（a）中的山坡分成简单的3段：上坡、平地、下坡，在每一段中，坡度都将分别是一个常数。
数学中有一个更专业的词汇来描述上面例子中的山坡形状，那就是“函数”。函数是用来描述变量之间的关系的，比如说，在上面的例子中，山坡的高度y随着离出发点O的水平距离x而变化，也就是说，y是x的函数。这里，y是函数，x叫作自变量。函数和自变量的关系可以用像图1.1（a）中所画的类似曲线来描述，而刚才爬山例子中所说的“坡度”，也有一个数学术语：曲线的斜率。斜率表征了函数在某点的变化快慢，它的计算便需要用到微积分。
当然，如果山坡的形状很简单，并不需要用微积分来计算坡度，比如像图1.1（a）的情况，山坡的每一段都是直线，计算坡度时只需要用这一段山坡高度的变化Δy除以水平距离的变化Δx就行了。从图1.1（a）的图形来估计，第一段山路的坡度大约等于1；第二段山路中高度没有变化，坡度为0；第三段是很陡的下坡路，坡度是负数，绝对值大于1。
但是，如果山坡的形状比较复杂如图1.1（b）所示，坡度就不方便用初等数学来计算了。这时候，就需要用到微积分这个锐利的工具。
因此，可以粗略地说，微积分是用来研究函数是如何变化的。
图1.1 山坡形状及坡度计算
首先，它可以被用来计算函数变化的斜率，从而考察函数变化的快慢。当函数很复杂，是个任意形状的曲线时，斜率的计算也变得很复杂，这时候，微积分便被派来解决这种问题。
在日常生活中，复杂的函数形状比比皆是。由于我们的世界处于不断的变化和运动之中，一切皆变数，到处都是“变量”，几乎在每一个领域，都能见到使用各种曲线来描述经济的发展、公司的业绩、员工的增长、交通的繁忙 如何深入研究这些变化呢？答案就是微积分。
比如，图1.2所示的股票市场、温度变化、心电图等，这些曲线都可用微积分来分析。
让我们再回到山坡的例子，解释如何计算坡度。初等数学只能处理简单的函数，计算如同图1.1（a）所示的山坡形状的坡度。如果碰到变化多端的任意形状的函数，该如何计算斜率呢？比如，如何计算图1.1（b）所示的那种复杂山坡的坡度呢？
当然，我们仍然可以沿用图1.1（a）所示的方法，用高度Δy除以距离Δx来计算，但这时得到的数值只能算是某一段距离Δx中的平均坡度。如果我们改变计算所用的Δx的大小，平均坡度也将随之变化。例如，当我们要计算图1.1（c）中某一个点A附近的坡度，
图1.2 日常生活中的函数
可以采取如下步骤：从A点的x开始，首先增加到x＋Δx1，如果y的改变为Δy1，便能算出第一个平均坡度P1＝Δy1Δx1。然后，逐次减小Δx1使之成为Δx2， Δx3， ， Δxn，相应地得到y的增量：Δy2， Δy3， ， Δyn，最后，分别计算相应的坡度P2， P3， ， Pn。P1， P2， P3， ， Pn是对应于x的一系列增量Δx1， Δx2， Δx3， ， Δxn的平均坡度。如果要更为准确地反映某一“点A”的坡度，就必须将计算的范围，即Δx取得更小，更靠近这个“点A”。我们如此想象下去，Δx越来越小，那么Δy也会越来越小 最后得到的比值P＝ΔyΔx便可以表示“点A”的坡度了。
上述段落中所描述的便是使用微积分来计算斜率的思想。微积分是“微分”和“积分”的统称。所谓微分的意思就是说，将自变量的变化Δx变得微小又微小，直到“无限小”，而观察函数y是如何变化的。一般来说，y的变化Δy也会是一个“无限小”的量。但人们关心的是这两个“无限小”量的比值，即上面例子中所描述的山坡在点A的坡度P，或在一般情形下称之为曲线在该点的斜率P。我们将这个值P叫作函数y对x在给定点的微分，也叫作y对x的导数。
“无穷小”或“无限小”，是一个有趣又有用的概念。如我们本章开头所引用的大数学家希尔伯特的名言所说的那样，数学就是研究“无穷”的科学。希尔伯特还说过：“无穷！再也没有其他问题如此深刻地打动过人类的心灵。”的确如此，“无穷大”和“无穷小”这两个神秘而又令人困惑的词与现代数学，进而与现代科学技术紧紧地联系在一起。它们深刻地影响了人类的精神，激励着人类的智力。“无穷小”在人类的科学技术舞台上变换表演出各种精湛绝美的魔术，也就是我们将要在本章看到的“无穷小”的魔术。
生活中经常碰到的需要求函数的导数的例子是计算运动物体的速度。比如我们开车出外旅游，汽车行驶的距离s便是时间t的函数，汽车的速度v就是距离随着时间的增长率。速度v是不停变化的，所谓需要计算汽车在某个时刻的“瞬时速度”，也就是计算函数s对时间t在一个点上的导数。
从以上的介绍我们明白了，微分的方法可用来求变量的导数，计算函数的增长率、坡度、速度等。积分又有何用途呢？积分实际上是微分的逆运算，也就是说，从山坡的坡度反过来计算山坡的高度。或者说，知道汽车在所有点的瞬时速度，反过来计算汽车行驶的距离时，就需要用到积分（图1.3）。对简单函数，比如图1.3（a）所示的匀速运动，已知速度求距离很简单，只需要将速度乘时间即可，对应于图1.3（a）中阴影矩形的面积。然而，如果速度随时间不停变化，如图1.3（b）所示的变速运动，这时候需要计算面积的图形形状就不是简单的矩形了。那么，应该如何来计算一个任意形状的图形面积呢？积分的思想就是把这个图形分成n个狭窄的、宽度为Δx的长条，然后把所有长条的面积加起来，得到Sn。当这些长条的宽度Δx趋近于“无限小”时，Sn趋近的数值就等于曲线下形成的图形的面积，也就是速度函数的积分值，即距离。
图1.3 匀速运动和变速运动时的求积分运算
这种将变量的变化趋于“无限小”的想法，也就是所谓的“极限”概念，是微积分的基本思想。现在我们说起“极限”来，好像并不难理解。但是，从产生这种最初的极限思想开始，又将其发展概括，最后整理归纳为数学语言，人类每一步走过来，都历经了漫长的历史过程。下一节，笔者便带你简单地回顾极限概念的发展历史。
2. 阿基里斯能追上乌龟吗？
极限这个字眼激发我们无限的想象，首先让我们联想到的是人们常常说的一句话：“挑战极限。”不过，在数学上，极限有它独特的含义，表示的是一种数学量无限趋近某个固定数值。极限思想的萌芽阶段可以上溯到两千多年前。希腊哲学家芝诺（Zeno of Elea，公元前490~前430年）曾经提出一个著名的阿基里斯悖论，这就是古希腊极限萌芽意识的典型体现。
阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄人物，参与了特洛伊战争，被称为“希腊第一勇士”。假设他跑步的速度为乌龟的10倍，比如说，阿基里斯每秒钟跑10m，乌龟每秒钟跑1m。出发时，乌龟在他前面100m处。按照我们每个人都具备的常识，阿基里斯很快就能追上并超过乌龟。我们可以简单地计算一下20s之后阿基里斯和乌龟在哪里？20s之后，阿基里斯跑到了离他出发点200m的地方，而乌龟呢，只在离它自己出发点的20m之处，也就是距阿基里斯出发点的120m之处，阿基里斯显然早就超过了它（图1.4）。
但是，从古至今的哲学家们都喜欢狡辩，芝诺说：“不对，阿基里斯永远都赶不上乌龟！”为什么呢？芝诺说，你看，开始的时候，乌龟超过阿基里斯100m，当阿基里斯跑了100m到了乌龟开始的位置时，乌龟已经向前爬了10m，这时候，乌龟超前阿基里斯10m；然后，我们就可以一直这样说下去：当阿基里斯又跑了10m后乌龟超前1米；下一时刻，乌龟超前0.1m；再下一刻，乌龟超前0.01m， 0.001m， 0.0001m 不管这个数值变得多么小，乌龟永远在阿基里斯前面。所以，阿基里斯不可能追上乌龟。
正如柏拉图所言，芝诺编出这样的悖论，或许是兴之所至而开的小玩笑。芝诺当然知道阿基里斯能够赶上乌龟，但他的狡辩听起来也似乎颇有道理，怎样才能反驳芝诺的悖论呢？
……
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