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《间断有限元理论与方法》可供高等院校计算数学、应用数学、计算物理和计算力学等专业的研究生、教师以及从事科学与工程计算工作的科技人员阅读和参考.
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| 內容簡介： |
有限元方法是现代科学与工程计算领域中最广泛使用的数值方法之一, 间断有限元方法则是传统连续有限元方法的创新形式、改进和发展.《间断有限元理论与方法》系统地阐述间断有限元基本理论、思想和方法.
《间断有限元理论与方法》主要针对椭圆方程、一阶双曲方程、一阶正对称双曲方程组、对流扩散方程、Stokes 方程和椭圆变分不等式等偏微分方程定解问题, 介绍各种形式间断有限元方法的构造、稳定性和误差分析、超收敛性质、后处理技术、后验误差估计和自适应计算.
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| 目錄：
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第1章 预备知识
1.1Sobolev空间简介
1.2嵌入越
1.3有限元空间及其性质
1.3.1有限元空间
1.3.2插值和投影逼近
1.3.3逆性质和迹不等式
1.4椭圆边值问题的有限元方法
1.4.1边值问题的适定性
1.4.2连续有限元逼近
第2章 椭圆问题惩罚形式的间断有限元方法
2.1历史的回顾
2.2惩罚方法的一般理论
2.3相容方法
2.4不相容方法
2.5离散方程组的条件数
2.6后验误差分析
2.6.1后验误差上界估计
2.6.2后验误差下界估计
2.6.3数值算法
2.7插值函数的超逼近性质
2.7.1一维插值函数的超逼近性质
2.7.2高维插值函数的超逼近性质
2.8后处理技术与超收敛性
2.8.1超逼近估计
2.8.2i2-投影的后处理技术
2.8.3导数小片插值恢复技术
2.8.4整体插值后处理技术
第3章 椭圆相关问题的间断有限元方法
3.1对流占优反应扩散方程
3.1.1间断有限元格式
3.1.2稳定性与误差分析
3.1.3超收敛与后验误差估计
3.2Stokes问题
3.2.1线性速度-常数压力间断元
3.2.2误差分析
3.2.3高次间断有限元
3.3椭圆变分不等式问题
3.3.1问题及其间断有限元近似
3.3.2最优误差估计与迭代求解
3.4第二类椭圆变分不等式
3.4.1问题及其正则化
3.4.2间断有限元方法
3.4.3先验误差估计
3.4.4后验误差估计
3.4.5数值计算例
第4章 数值通量形式的间断有限元方法
4.1介绍
4.2数值通量方法的基本公式
4.3基本公式的理论分析
4.4不稳定格式
4.5广义局部间断有限元方法
4.6对流扩散问题
4.6.1迎风型间断有限元格式
4.6.2误差分析
4.6.3对流扩散反应方程
4.7椭圆相关问题
第5章 一阶双曲方程的间断有限元方法
5.1起源与历史发展
5.2问题及其间断有限元格式
5.3最优阶误差估计
5.4三角元的超收敛估计
5.5矩形元的超收敛估计
5.5.1对流方向平行坐标轴情形
5.5.2一般情形的矩形元
5.6有关近似的超收敛估计
5.6.1对流方向导数的后处理
5.6.2负范数误差估计与均值逼近
5.6.3数值计算例
5.7后验误差分析
5.7.1后验误差估计:特殊网格情形
5.7.2后验误差估计：一般网格情形
5.7.3后验误差下界估计
5.7.4数值计算例
5.8非定常问题
5.8.1半离散间断有限元逼近
5.8.2全离散间断有限元逼近
5.8.3后验误差分析
第6章 一阶正对称双曲方程组的间断有限元方法
6.1—阶正对称_方程组
6.2拟迎风间断有限元方法
6.2.1拟迎风格式及其稳定性
6.2.2最优阶误差估计
6.2.3负范数误差估计
6.2.4数值计算例
6.3惩罚形式的间断有限元方法
6.4插值函数的超逼近性质
6.4.1强正规三角剖分
6.4.2几乎一致的矩形剖分
6.5惩罚方法的超收敛估计
6.5.1线性三角元
6.5.2双线性矩形元
6.6非定常问题
6.6.1半离散间断有限元近似
6.6.2全离散间断有限元近似
6.7显式时空间断有限元方法
6.7.1时空间断有限元格式及其稳定性
6.7.2误差分析
6.8半显式时空间断有限元格式
6.8.1半显式格式
6.8.2误差分析
参考文献
索引
《信息与计算科学丛书》已出版书目
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第1章预备知识
本章介绍Sobolev空间、有限元空间及其性质，并简要回顾椭圆问题的连续有限元方法.需要指出，本章中引进的形状正则剖分概念和局部投影逼近等是专门为间断有限元方法做准备的.
1.1Sobolev空间简介
设Rd为d维欧氏空间，为Rd中的有界区域.用 为Banach空间；而12叫为Hilbert空间，其内积定义
用Cm2表示区域n上m次连续可微的函数组成的集合，C{n表示n上无穷次可微函数组成的集合.记
并称之为函数u的支集?用CH2和分别表示由和中一切具有紧支集的函数组成的集合.
记区域上的偏微分算子 其中为非负整数，a=ai， ，ad称为d重指标，标记
定义1.1设LKn为区域i?上的Lebesgue局部可积函数空间，uGL\oc{Q.如果存在veL\oc{Q，使得则称是W的a阶广义导数，并记为v=Dau.
由变分法基本引理可知，广义导数若存在必唯一.又容易验证，若u的古典导数存在且属于卬，则其广义导数存在且与古典导数一致.因此广义导数是古典导数的推广.
广义导数具有如下性质：
1Daau+bv=aDau+bDav，a，b为常数；
2Da+βu=Da{Dβu3D{uv=uDv+vDu;
4Dau=0对一切|o|=m成立，当且仅当u几乎处处等于一个to-1次多项式?
设m为非负整数，1 这个空间依范数
构成一个Banach空间，称之为Sobolev空间;相应的半范数为
又令P{Q为CSf2按范数，p在空间中的闭包，则Wam 2也是一个Banach空间，它一般是的一个真闭子空间.当p=2时，简记
于是=L2和Hrn是Hilbert空间，其内积为
Sobolev空间具有如下性质:
1Wm，Pf2l^p 2Wm，Pf2l 3{ueC{Q:|MU，P 再引进负指数Sobolev空间.设1 将此泛函的范数记为
并称之为V的负范数.显然
定义负指数Sobolev空间：
W-m，P\Q=Lp，0按范数|o|m，p的完备化空间可以证明⑷）等距同构于对偶空间（Wm，P2y.当#=2时，简记
1.2嵌入定理
Sobolev空间更深刻的性质反映为下述的嵌入定理和迹定理.
定义1.2设X和F是两个赋范线性空间，如果
1U;
2将a;eX映为key的恒同算子I是连续的，即存在常数M使得
则称X嵌入Y，记为Xyy.又称I为嵌入算子，M为嵌入常数.
Sobolev嵌入定理设C为有界区域，边界dn是局部Lipschitz连续的，m，k为非负整数，1 特别地，下述嵌入还是紧的：
需要说明的是，Wm{Q中的元素是函数的等价类，几乎处处相等的函数归为同一等价类.Wm，P{Q C J2的含义是：任一uGWmPf2必等价于C J2中的一个函数（仍标记为u，同时存在常数M使得
现在考虑Hmn中函数的边界值，即u在如上的迹.由于an为d维零测度集，而切中函数可以在零测度集上没有定义，因此在通常意义下讨论U在df2上的取值是没有意义的.下面将利用的稠密性，给出Hm{Q中函数在边界上迹的确切定义.
定义1.3设有界区域CRd具有m阶光滑的边界，uGCmn.线性算子
称之为迹算子，此处^表示沿边界di2外法方向的j次方向导数.on3
引理1.1113]对上述区域，存在常数0，使得
现在对ueHmf2，取序列{uk}CCmn使得由引理1.1知，{ljUk}是L2dQ中的Cauchy序列，故存在极限VjeL2df2，显然Vj与hfc}的选取无关.现在定义ueH^{n在dn上的迹：
迹嵌入定理设有界区域CRd具有m阶光滑的边界，uGHm{Q，则存在与U无关的常数使得
特别地，
此不等式（通常称有嵌入W^iQ^Lp{dQ只要求dn是Lipschitz连续的?由于Hrn是C^fT的完备化空间，则根据迹算子的定义可有
关于迹嵌入定理的更精确形式涉及分数次Sobolev空间P间，s0为任意实数.此时，对任意uGH1+S{Q，迹算子 [s]表示不大于s的最大整数）有意义，并且特殊情况是：当So时，可有HS{QL2{dQ，并且迹算子的满映射（但不是对应的，对任何，存在 与7j有关，使S且
参见文献[1]定理7-53.
最后介绍Sobolev空间中的两个常用的不等式.
Poinccire不等式设CRd为有界区域，rCdQ，measr0，则存在常数C1，使得特别当ueWp0时，此不等式给出了空间中范数与半范数的等价性，此时可有内插不等式设DCRd为有界区域，边界dn是Lipschitz连续的，则存在常数C0，使得进一步设，则有这两个内插不等式取自文献[6]和[14].
1.3有限元空间及其性质
有限元方法是求解偏微分方程变分问题的一种近似方法.变分问题的近似方法实质上就是用有限维空间近似无穷维空间，从而将无穷维空间中求解的变分问题转化为一个有限维的近似问题.有限维近似空间的选取方法可以有多种，一种最常用的近似空间就是有限元空间，它是建立在区域剖分基础上满足一定约束条件的分片多项式空间.本节将介绍有限元空间的有关概念和知识.
1.3.1有限元空间
在有界区域12cRd上建立一个剖分将77分割为有限个具有Lipschitz连续边界的、互不重叠且内部非空的有界闭集之和，即77=U{^KgTh}.K称为剖分单元，h=maxix称为剖分直径，hK=diamAT为单元直径.
定义1.4有限维空间Sh称为相应于剖分的有限元空间，如果
1对每一集合Pk={p：p=Vh\x，NVhSh}是K上的某~多项式函数类；
2存在一个自由度集合 即一组线性无关的线性泛函，
它通常由插值节点和插值条件来规定，它是PK唯一可解的，即对任意给定的一组实数{aj，存在唯一的一个函数p?Pk满足
3Sh中的函数在Q上具有一定的有界性或者光滑性，如ShCL2Q，或者.
三元集合{K，PK，SK}称为一个有限元.
如果自由度集合SK中含有导数值插值条件，则称{，}为Hermite型有限元;反之称为Lagrange型有限元.此外，当仅有ShCL20时，称Sh为间断有限元空间；而当ShCCm72时，称Sh为连续有限元空间.此时，利用Green公式和广义导数定义，可推得如下结果：
下面给出两个最简单的有限元例子.
例1.1三角剖分情形.设区域CR2可分割为有限个三角形之和，则可建立区域的三角剖分Th=UW，K为三角单元.记为单元K上总次数不超过k的多项式集合，也即
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