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Linear Dynamics 43 3.1 Reversible Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Random Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 Convergence to Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4 Markov Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4. Isolated Dynamics 73 4.1 The Boltzmann Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2 The Heat-Particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.3 The Hard-Core Model of Chemical Kinetics . . . . . . . . 94 4.3.1 Isomers and Di_usion in a Force-Field . . . . . . . 95 4.3.2 Markov Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.3.3 Entropy Production . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.3.4 Osmosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.3.5 Exchange Di_usion . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.3.6 General Di_usions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.4 Chemical Reactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.4.1 Unimolecular Reactions . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.4.2 Balanced Reactions . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.5 Energy of Solvation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.6 Activity-led Reactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5. Isothermal Dynamics 123 5.1 Legendre Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.2 The Free-energy Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.3 Chemical Kinetics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.4 Convergence in Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.5 Dilation of Markov Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6. Driven Systems 151 6.1 Sources and Sinks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.2 A Poor Conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.3 A Driven Chemical System . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.4 How to Add Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 7. Fluid Dynamics 167 7.1 Hydrostatics of a Gas of Hard Spheres . . . . . . . . . . . 168 7.2 The Fundamental Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.3 The Euler Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.4 Entropy Production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 7.5 A Correct Navier-Stokes System . . . . . . . . . . . . . . 181 Quantum Statistical Dynamics 187 8. Introduction to Quantum Theory 189 9. Quantum Probability 197 9.1 Algebras of Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 9.2 States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 9.3 Quantum Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 9.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 10. Linear Quantum Dynamics 221 10.1 Reversible Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 10.2 Random Quantum Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . 224 10.3 Quantum Dynamical Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 10.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 11. Isolated Quantum Dynamics 237 11.1 The Quantum Boltzmann Map . . . . . . . . . . . . . . . 237 11.2 The Quantum Heat-Particle . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 11.3 Fermions and Ions with a Hard Core . . . . . . . . . . . . 256 11.4 The Quantum Boltzmann Equation . . . . . . . . . . . . . 272 11.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 12. Isothermal and Driven Systems 283 12.1 Isothermal Quantum Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . 283 12.2 Convergence to Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 12.3 Driven Quantum Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 12.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 13. In_nite Systems 297 13.1 The Algebra of an In_nite System . . . . . . . . . . . . . 299 13.2 The Reversible Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 13.3 Return to Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 13.4 Irreversible Linear Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . 306 13.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 14. Proof of the Second Law 311 14.1 von Neumann Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 14.2 Entropy Increase in Quantum Mechanics . . . . . . . . . . 312 14.3 The Quantum Kac Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 14.4 Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 14.5 The _-Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 14.6 The Marginals and Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 14.7 The Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 15. Information Geometry 319 15.1 The Jaynes-Ingarden Theory . . . . . . . . . . . . . . . . 319 15.2 Non-Linear Ising Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 15.3 Ising Model Close to Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . 327 15.4 Non-linear Heisenberg Model . . . . . . . . . . . . . . . . 329 15.5 Estimation; the Cram_er-Rao Inequality . . . . . . . . . . 333 15.6 Efron, Dawid and Amari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 15.7 Entropy Methods, Exponential Families . . . . . . . . . . 340 15.8 The Work of Pistone and Sempi . . . . . . . . . . . . . . 341 15.9 The Finite-Dimensional Quantum Info-Manifold . . . . . 346 15.10 Araki''s Expansionals and the Analytic Manifold . . . . . 352 15.11 The Quantum Young Function . . . . . . . . . . . . . . . 354 15.12 The Quantum Cram_er Class . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 15.13 The Parameter-Free Quantum Manifold . . . . . . . . . . 360 15.14 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 Bibliography 367 Index 377

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