乘除卷第二
杨辉题录载此卷共41问:方田38问,粟米3问?但《详解九章算法?纂类》仅存
《粟米2问,阙1问?包括直田法?里田方田法?圭田法?斜田法?网田法?畹田法?弧
田法?环田法?约分法?合分法?课分法?平分法?乘分法?除分法?经分法等15种算法?
1.直田法
直田法日:广?从相乘为实或为积如亩法而一?
1广十五步,从十六步?问:为田几何?
答日:一亩?①
2广十二步,从十四步?问:为田几何?
答日:一百六十八步?@
方田术日:广从步数相乘得积步?此积谓田幂?凡广从相乘谓之幂?臣淳风等谨按:经
云广从相乘得积步,注云广从相乘谓之幂?观斯注意,积幂义同?以理推之,固当不尔?何则?幂
是方面单布之名,积乃众数聚居之称?循名责实,二者全殊?虽欲同之,窃恐不可?今以凡言幂者据广从之一方;其言积者举众步之都数?经云相乘得积步,即是都数之明文?注云谓之为幂,全乖积步之本意?此注前云积为田幂,于理得通?复云谓之为幂,繁而不当?今者注释,存善去非,略为料简,遗诸后学?以亩法二百四十步除之,即亩数?百亩为一顷?臣淳风等谨按:此为篇
端,故特举顷?亩二法?余术不复言者,从此可知?一亩之田,广十五步,从而疏之,令为+五行,则每行广一步而从十六步?又横而截之,令为十六行,则每行广一步而从十五步?此即从疏横截之步,各自为方,几有二百四十步?一亩之地,步数正同?以此言之,则广从相乘得积步,验矣?二百四十步者,亩法也;百亩者,顷法也?故以除之,即得?
2.里田方田法
里田方田法日:方白乘为积,里以一里之积三百七十五亩乘之?
3方田,一里?问:为田几何?
答日:三顷七十五亩?③
4广二里,从三里?问:为田几何?
① 长方形的面积S一长×宽- 15×16 - 240步2=1亩?
② 长方形的面积s-长×宽一12×14—168步2?
③ 1里:汉代为300步?方田:指正方形或长方形?设边长为“,则
正方形的面积s一“2—3002 =90000步2?换算为田亩,1顷一100亩,故s一芝署一375亩一3顷75亩? 答日:二十二顷五十亩?①
里田术日:广从里数相乘得积里?以三百七十五乘之,即亩数?按:此术广从里数
相乘得积里?方里之中有三顷七十五亩,故以乘之,即得亩数也?
3.圭田法
圭田②法日:半广以乘正从③,或半正从以乘广?
5圭田,广十二步,正从二十一步?问:为田几何?
答日:一百二十六步?④
6圭田,广五步二分步之一,从八步三分步之二?问:为田几何?
答日:二十三步六分步之五?⑤
术日:半广以乘正从?半广知,以盈补虚为直田也?亦可半正从以乘广?按:半广乘从,以
取中平之数,故广从相乘为积步?亩法除之,即得也?
4.斜田法
斜田⑥法日:并两斜,半之,以乘正从;或并两广乘半从;或并两广乘从,折半?
7斜田,南广三十步,北阔四十二步,从六十四步?问:为田几何?
答日:九亩一百四十四步?⑦
8斜田,正广六十五步,一半从一百步,一半从七十二步?问:几何?
答日:二十三亩七十步?⑧
术日:并两斜而半之,以乘正从若广?又可半正从若广,以乘并?亩法而一?并
① 因1里2为375亩,故长方形的面积s一2里×3里一6里2×375亩里''—2250亩一22顷50亩?
②指等腰三角形之田?
③ 即“正纵”,指三角形的高?
④设圭田的底边长为n,高为^,则圭田面积一一2×h一12÷2×21-126步2?
一1
,, 3—F 2 1 1 ?E ??E
⑤圭田面积一÷×^一—2×8了一下×了一百一23÷步??
⑥邪通“斜”,“斜田”就是直角梯形,“正从”即高,“正广”即直角梯形两直角间的边,“两邪”即与边相邻的
两广或两从,如图所示?
?一百一
.. r一
⑦设斜田的广为?,,??,高为Ii五ii tl i 正广
田的面积s一生{里×^一塑专里×64- 2304步?,鬟署一9亩144步??
⑧,一al+a2×n一塑与生兰×6s—ss??步:笔署一23亩,?步:?而半之者,以盈补虚也?
9箕田①,舌广二十步,踵广五步,正从三十步?问:田几何?
答日:一亩一百三十五步?②
10箕田,舌广一百一十七步,踵广五十步,正从一百三十五步?问:田几何?
答日:四十六亩二百三十二步半?③
箕田与斜田法同?
术日:并踵?舌而半之,以乘正从?亩法而一?中分箕田则为两邪田,故其术相似?又
可并踵?舌,半正从,以乘之?
5.圆田法
网田法④日:半周?半径相乘;半周白乘三而一;周白乘十二而一,径白乘三之四
而一;周径相乘四而一,半径白乘三之;密率,周白乘,又七因之,如八十八而一;徽术,
周白乘,又二十五乘三百一十四而一?
11四周三十步,径一十步?问:田几何?
古术答日:七十五步⑤;密率答日:七十一步二十三分步之一十三;徽术答日:七
十一步一百五十七分步之一百三?
刘徽?李淳风注本:今有网田,周三十步,径十步?臣淳风等谨按:术意以周三径一为
率,周三十步,合径十步?今依密率,合径九步十一分步之六?问:为田几何?
答日:七十五步?
此于徽术,当为田七十一步一百五十七分步之一百三?臣淳风等谨按:依密率,为田七十一步
二十三分步之一十三?
12四周一百八十一步,径六十步三分步之一?问:田几何?
古木答日:一十一亩九十步十二分步之一;密率答日:一十亩二百五步八十八分
之八十七;刘徽术答日:一十亩二百八步三百一十四分步之一百一十三?
①指形状像簸箕的田,从几何的角度看,就是指一般的梯形?
②箕田的面积s一a +a2×^一垫芋×30- 375步:,故票一l亩135步z?
③,一生丢竺×^一旦写塑×135=11272.5步:?坐望堕一46亩232—}步??
? 240
④圆周率之演变:古率“一3?密率有几种说法:第一种是“徽率”,即”一等;第二种是“祖率”,即”一
羔;第三种是“李率”李淳风所说的网周率近似值,即“一!笋?祖冲之却将“一!笋称为“约率”?
⑤设圆的周长为L,半径为n则网面积S=丢Lr一丢×30×萼一75步z?在此,网周率取“一3?
1 1
术文给出多个公式f半周为导,半径为导:sm一号×导,sm—下×I_D,S~ =12L 2?前两个公式都是
非常精确的? 刘徽?李淳风注本:又有同田,周一百八十一步,径六十步三分步之一?臣淳风等
谨按:周三径一,周一百八十一步,径六十步三分步之一?依密率,径五十七步二十二分步之一十
三?问:为田几何?
答日:十一亩九十步十二分步之一?①
此于徽术,当为田十亩二百八步三百一十四分步之一百十三?臣淳风等谨按:依密率,当为田
十亩二百五步八十八分步之八十七?
术日:半周半径相乘得积步?按:半周为从,半径为广,故广从相乘为积步也?假令圆径二
尺,圆中容六觚之一面,与圆径之半,其数均等?合径率一而外周率三也?又按:为图,以六觚之
一面乘一弧半径,三之,得十二觚之幂?若又割之,次以十二觚之一面乘一弧之半径,六之,则得二十四觚之幂?割之弥细,所失弥少?割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣?觚面之外,又有余径?以面乘余径,则幂出觚表?若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径?表无余
径,则幂不外出矣?以一面乘半径,觚而裁之,每辄自倍?故以半周乘半径而为圆幂?此以周?
径,谓至然之数,非周三径一之率也?周三者,从其六觚之环耳?以推圆规多少之觉,乃弓之与
弦也?然世传此法,莫肯精核;学者踵古,习其谬失?不有明据,辩之斯难?凡物类形象,不圆则
穷?方圆之率,诚著于近,则虽远可知也?由此言之,其用博矣?谨按图验,更造密率?恐空设
法,数昧而难譬,故置诸检括,谨详其记注焉?割六觚以为十二觚术日:置圆径二尺,半之为一
尺,即圆里觚之面也?令半径一尺为弦,半面五寸为句,为之求股?以句幂二十五寸减弦幂,余
七十五寸,开方除之,下至秒?忽?又一退法,求其微数?微数无名知以为分子,以十为分母,约
作五分忽之二?故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二?以减半径,余一寸三分三厘九毫七
秒四忽五分忽之三,谓之小句?觚之半面又谓之小股?为之求弦?其幂二千六百七十九亿四千
九百一十九万三千四百四十五忽,余分弃之?开方除之,即十二觚之一面也?割十二觚以为二
十四觚术日:亦令半径为弦,半面为句,为之求股?置上小弦幂,四而一,得六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽,余分弃之,即句幂也?以减弦幂,其余开方除之,得股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之四?以减半径,余三分四厘七秒四忽五分忽之一,谓之小句?觚之半面又谓之小股?为之求小弦?其幂六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽,余分弃之?开方除之,即二十四觚之一面也?割二十四觚以为四十八觚术日:亦令半径为弦,半面力句,为之求股?置上小弦幕,四而一,得一百七十亿三千七百八万七千三百六十六忽,余分弃之,即句幂也?以减弦幂,其余,开方除之,得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之四?以减半径,余八厘五毫五秒五忽五分忽之一,谓之小句?觚之半面又谓之小股?为之求小弦?其幂一
百七十一亿一千二十七万八千八百一十三忽,余分弃之?开方除之,得小弦一寸三分八毫六忽,余分弃之,即四十八觚之一面?以半径一尺乘之,又以二十四乘之,得幂三万一千三百九十三亿四千四百万忽?以百亿除之,得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四,即九十六觚之
①设网的周长为L,半径为r.则网面积一丌,k“导2一号×导一÷×181×专×s?÷一
3276J12 =273?击步:?羞了×西一11亩9?击步?幂也?割四十八觚以为九十六觚术日:亦令半径为弦,半面为句,为之求股?置次上弦幂,四而一,得四十二亿七千七百五十六万九千七百三忽,余分弃之,即句幂也?以减弦幂,其余,开方除之,得股九寸九分七厘八毫五秒八忽十分忽之九?以减半径,余二厘一毫四秒一忽十分忽之一,谓之小句?觚之半面又谓之小股?为之求小弦?其幂四十二亿八千二百一十五万四千一十二忽,余分弃之?开方除之,得小弦六分五厘四毫三秒八忽,余分弃之,即九十六觚之一面?以半径一尺乘之,又以四十八乘之,得幂三万一千四百一十亿二千四百万忽,以百亿除之,得幂三百一十四寸六百二十五分寸之六十四,即一百九十二觚之幂也?以九十六觚之幂减之,余六百二十五分寸之一百五,谓之差幂?倍之,为分寸之二百一十,即九十六觚之外弧田九十六所,谓以弦乘矢之凡幂也?加此幂于九十六觚之幂,得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九,则出圆之表矣?故还就一百九十二觚之全幂三百一十四寸以为圆幂之定率而弃其余分?以半径一尺除圆幂,倍之,得六尺二寸八分,即周数?令径自乘为方幂四百寸,与圆幂相折,圆幂得一百五十七为率,方幂得二百为率?方幂二百,其中容圆幂一百五十七也?圆率犹为微少?按:弧曰图令方中容圆,圆中容方,内方合外方之半?然则圆幂一百五十七,其中容方幂一百也?又令径二尺与周六尺二寸八分相约,周得一百五十七,径得五十,则其相与之率也?周率犹为微少也?晋武库中汉时王莽作铜斛,其铭日:律嘉量斛,内方尺而圆其外,鹿旁九厘五毫,幂一百六十二寸,深一尺,积一千六百二十寸,容十斗?以此术求之,得幂一百六十一寸有奇,其数相近矣?此
术微少?而觚差幂六百二十五分寸之一百五?以一百九十二觚之幂以率消息,当取此分寸之三
十六,以增于一百九十二觚之幂,以为圆幂,三百一十四寸二十五分寸之四,置径自乘之方幂四百寸,令与圆幂通相约,圆幂三千九百二十七,方幂得
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