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Eschrig，德国教授。 目錄： 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Base of Topology, Metric, Norm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5 Connectedness, Homotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.6 Topological Charges in Physics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3 Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1 Charts and Atlases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2 Smooth Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3 Tangent Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4 Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.5 Mappings of Manifolds, Submanifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.6 Frobenius'' Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.7 Examples from Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.7.1 Classical Point Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.7.2 Classical and Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.7.3 Classical Point Mechanics Under Momentum Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.7.4 Classical Mechanics Under Velocity Constraints. . . . . . . 93 3.7.5 Thermodynamics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4 Tensor Fields. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.1 Tensor Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.2 Exterior Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.3 Tensor Fields and Exterior Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.4 Exterior Differential Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5 Integration, Homology and Cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.1 Prelude in Euclidean Space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.2 Chains of Simplices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.3 Integration of Differential Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.4 De Rham Cohomology. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.5 Homology and Homotopy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.6 Homology and Cohomology of Complexes. . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.7 Euler''s Characteristic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.8 Critical Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.9 Examples from Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 6 Lie Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.1 Lie Groups and Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.2 Lie Group Homomorphisms and Representations . . . . . . . . . . . 177 6.3 Lie Subgroups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.4 Simply Connected Covering Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 6.5 The Exponential Mapping. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 6.6 The General Linear Group Gln,K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 6.7 Example from Physics: The Lorentz Group . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.8 The Adjoint Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 7 Bundles and Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 7.1 Principal Fiber Bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 7.2 Frame Bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 7.3 Connections on Principle Fiber Bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 7.4 Parallel Transport and Holonomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 7.5 Exterior Covariant Derivative and Curvature Form . . . . . . . . . . 222 7.6 Fiber Bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 7.7 Linear and Affine Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 7.8 Curvature and Torsion Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 7.9 Expressions in Local Coordinates on M . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 8 Parallelism, Holonomy, Homotopy and Cohomology . . . . . . . . . . 247 8.1 The Exact Homotopy Sequence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 8.2 Homotopy of Sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 8.3 Gauge Fields and Connections on R4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 8.4 Gauge Fields and Connections on Manifolds . . . . . . . . . . . . . . 262 8.5 Characteristic Classes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 8.6 Geometric Phases in Quantum Physics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 8.6.1 Berry-Simon Connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 8.6.2 Degenerate Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 8.6.3 Electrical Polarization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 8.6.4 Orbital Magnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 8.6.5 Topological Insulators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 8.7 Gauge Field Theory of Molecular Physics . . . . . . . . . . . . . . . . 296 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 9 Riemannian Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 9.1 Riemannian Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 9.2 Homogeneous Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 9.3 Riemannian Connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 9.4 Geodesic Normal Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 9.5 Sectional Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 9.6 Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 9.7 Complex, Hermitian and K?hlerian Manifolds. . . . . . . . . . . . . . 336 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 Compendium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 List of Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

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